Question

五名男子和九名女子按相等间隔随机站在一个圆周上。每名男子都恰好站在一名女子正对面的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Five men and nine women stand equally spaced around a circle in random order. The probability that every man stands diametrically opposite a woman is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：191

知识点：基本概率组合配对与分组

难度评级：2170

小提示：

这 $14$ 个位置分成 $7$ 对直径相对的位置；只需要关心男子占据的是哪些位置。

The $14$ positions split into $7$ diametrically opposite pairs, and only the set of positions the men occupy matters.

大提示：

数出没有任何一对位置同时有两名男子的情形：选出 $7$ 对中的 $5$ 对放男子，再在每对中选一个位置；与 $\binom{14}{5}$ 比较。

Count sets where no pair has two men: choose $5$ of the $7$ pairs to hold a man, then a position in each; compare with $\binom{14}{5}.$

解答：

这 $14$ 个位置分成 $7$ 对直径相对的位置。只需要看男子占据的位置集合，而所有 $\binom{14}{5} = 2002$ 个五元素位置集合等可能。每名男子都与一名女子相对，等价于没有一对相对位置里有两名男子。因此先选出 $7$ 对中的 $5$ 对含有男子，有 $\binom{7}{5} = 21$ 种；再在每个选中的对里选出男子的位置，有 $2^5 = 32$ 种，共有 $21 \cdot 32 = 672$ 个有利集合。

概率为 $\frac{672}{2002} = \frac{48}{143}$ ，所以 $m + n = 48 + 143 = 191$ 。

The $14$ positions split into $7$ diametrically opposite pairs. Only the set of positions occupied by the men matters, and all $\binom{14}{5} = 2002$ five-element sets are equally likely. Every man stands opposite a woman exactly when no pair contains two men, so choose which $5$ of the $7$ pairs contain a man ( $\binom{7}{5} = 21$ ways) and which position of each chosen pair the man occupies ( $2^5 = 32$ ways), for $21 \cdot 32 = 672$ favorable sets.

The probability is $\frac{672}{2002} = \frac{48}{143},$ so $m + n = 48 + 143 = 191.$

2023 AIME I 第 1 题

答案：191

难度评级：2170

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解答：

其他年份的第 1 题