Question

数 $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

The number $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：7

知识点：对数

难度评级：1890

小提示：

用 $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ ，把两项都改写成以 $2000^6$ 为底的对数。

Use $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ to rewrite both terms as logarithms with base $2000^6$

大提示：

这个和变为 $\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3)$ ，而 $4^2 \cdot 5^3 = 2000$ 。

The sum becomes $\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3),$ and $4^2 \cdot 5^3 = 2000$

解答：

因为 $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ ，两项分别等于 $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ 和 $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125$ 。它们的和为 $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned}\text{。}$

因为 $\gcd(1, 6) = 1$ ，所以 $m + n = 1 + 6 = 7$ 。

Since $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,$ the two terms equal $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ and $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.$ Their sum is $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since $\gcd(1, 6) = 1,$ the answer is $m + n = 1 + 6 = 7.$

2000 AIME II 第 1 题

答案：7

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题