The number (2)/(\log_4 2000^6) + (3)/(\log_5 2000^6) can be written as (m)/(n), where m and n are relatively prime positive integers. Find m + n.

2000 AIME II Problem 1 — Solution

2000 AIME II Problem 1

Below is the professionally curated solution for Problem 1 of the 2000 AIME II, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2000 AIME II solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:logarithm

Difficulty rating: 1890

The number $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Answer

Solution:

Since $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,$ the two terms equal $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ and $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.$ Their sum is $\log_{2000^6}(16 \cdot 125) = \log_{2000^6} 2000 = \frac{1}{6}.$

Since $\gcd(1, 6) = 1,$ the answer is $m + n = 1 + 6 = 7.$

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Problem 1 in Other Years

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