2015 AIME I Problem 1

Below is the professionally curated solution for Problem 1 of the 2015 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2015 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:summation arithmetic sequence pairing and grouping

Difficulty rating: 1890

The expressions $A = 1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39$ and $B = 1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39$ are obtained by writing multiplication and addition operators in an alternating pattern between successive integers. Find the positive difference between integers $A$ and $B.$

Answer

Solution:

Subtract term by term: $B - A = (1 - 39) + (2 \times 3 - 1 \times 2) + (4 \times 5 - 3 \times 4) + \cdots + (38 \times 39 - 37 \times 38).$ Each parenthesized difference has the form $(2k+1)(2k) - (2k-1)(2k) = 4k$ for $k = 1, 2, \ldots, 19.$

Therefore $B - A = -38 + 4(1 + 2 + \cdots + 19) = -38 + 4 \cdot 190 = 722.$

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Problem 1 in Other Years

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