2022 AIME I Problem 1

Below is the professionally curated solution for Problem 1 of the 2022 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2022 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:polynomial linear equation

Difficulty rating: 1890

Quadratic polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ have leading coefficients of $2$ and $-2,$ respectively. The graphs of both polynomials pass through the two points $(16, 54)$ and $(20, 53).$ Find $P(0) + Q(0).$

Answer

Solution:

Let $R(x) = P(x) + Q(x).$ The leading coefficients $2$ and $-2$ cancel, so $R$ is a linear function. Since both graphs pass through $(16, 54)$ and $(20, 53),$ we get $R(16) = 108$ and $R(20) = 106.$

The slope of $R$ is $\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2},$ so $P(0) + Q(0) = R(0) = R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} = 108 + 8 = 116.$

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