Question

在 $4000$ 与 $7000$ 之间，有多少个四位数字互不相同的偶数？

How many even integers between $4000$ and $7000$ have four different digits?

答案

答案：728

知识点：基本计数分类讨论数字

难度评级：1920

小提示：

按千位数字是偶数还是奇数分类

Separate the cases according to whether the thousands digit is even or odd

大提示：

选定千位和个位数字后，依次计算两个中间数位的选择数

After choosing the thousands and units digits, count the choices for the two middle digits in order

解答：

千位数字是 $4$ 、 $5$ 或 $6$ 。若千位数字是 $4$ 或 $6$ ，则个位数字有 $4$ 种选择，即从 $0$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 和 $8$ 中排除已经用过的千位数字；随后百位和十位数字分别有 $8$ 种和 $7$ 种选择。这两种情况共得到 $2\cdot4\cdot8\cdot7=448$ 个数。若千位数字是 $5$ ，则 $5$ 个偶数都可作为个位数字，共得到 $5\cdot8\cdot7=280$ 个数。因此总数为 $448+280=728$ 。

The thousands digit is $4,$ $5,$ or $6.$ If it is $4$ or $6,$ the units digit has $4$ choices among $0,$ $2,$ $4,$ $6,$ and $8,$ after which the hundreds and tens digits have $8$ and $7$ choices. These two cases contribute $2\cdot4\cdot8\cdot7=448.$ If the thousands digit is $5,$ all $5$ even units digits are available, contributing $5\cdot8\cdot7=280.$ Thus the total is $448+280=728.$

1993 AIME 第 1 题

答案：728

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题