Question

在 $\triangle ABC$ 上标出十五个互不相同的点： $3$ 个顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ；边 $\overline{AB}$ 上另有 $3$ 个点；边 $\overline{BC}$ 上另有 $4$ 个点；边 $\overline{CA}$ 上另有 $5$ 个点。求以这 $15$ 个点中的点为顶点、面积为正的三角形个数。

Fifteen distinct points are designated on $\triangle ABC:$ the $3$ vertices $A,$ $B,$ and $C;$ $3$ other points on side $\overline{AB};$ $4$ other points on side $\overline{BC};$ and $5$ other points on side $\overline{CA}.$ Find the number of triangles with positive area whose vertices are among these $15$ points.

答案

答案：390

知识点：组合补集计数

难度评级：1950

小提示：

先数出从 $15$ 个点中任选 $3$ 个点的所有方法，再去掉不能形成真正三角形的选法

Count all ways to choose $3$ of the $15$ points, then throw away the choices that fail to make a real triangle

大提示：

选法失败当且仅当 $3$ 个点全在同一条边上；三条边上分别有 $5$ 、 $6$ 和 $7$ 个点

A choice fails exactly when all $3$ points lie on one side; the sides contain $5,$ $6,$ and $7$ of the points

解答：

从这些点中选 $3$ 个点共有 $\binom{15}{3} = 455$ 种方法。某种选法不能得到面积为正的三角形，当且仅当这 $3$ 个点共线；这只会在三点全落在三角形的一条边上时发生。连同端点在内，边 $\overline{AB}$ 上有 $5$ 个点， $\overline{BC}$ 上有 $6$ 个点， $\overline{CA}$ 上有 $7$ 个点，所以共线三点组共有 $\binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}$ $= 10 + 20 + 35 = 65$ 组。

因此三角形的个数为 $455 - 65 = 390$ 。

There are $\binom{15}{3} = 455$ ways to choose $3$ of the points. A choice fails to give a triangle of positive area exactly when the $3$ points are collinear, which happens only when all three lie on one side of the triangle. Including its endpoints, side $\overline{AB}$ contains $5$ points, $\overline{BC}$ contains $6,$ and $\overline{CA}$ contains $7,$ giving $\binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}$ $= 10 + 20 + 35 = 65$ collinear triples.

The number of triangles is $455 - 65 = 390.$

2017 AIME I 第 1 题

答案：390

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题