Question

在满足 $AB = AC$ 的 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 严格位于边 $\overline{AC}$ 上 $A$ 与 $C$ 之间，点 $E$ 严格位于边 $\overline{AB}$ 上 $A$ 与 $B$ 之间，并且 $AE = ED = DB = BC$ 。角 $\angle ABC$ 的度数为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

In $\triangle ABC$ with $AB = AC,$ point $D$ lies strictly between $A$ and $C$ on side $\overline{AC},$ and point $E$ lies strictly between $A$ and $B$ on side $\overline{AB}$ such that $AE = ED = DB = BC.$ The degree measure of $\angle ABC$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：547

知识点：等腰三角形导角角度和

难度评级：2150

小提示：

设 $\angle BAC = \alpha$ ，沿着等腰三角形 $AED$ 、 $EDB$ 和 $DBC$ 逐步追角。

Let $\angle BAC = \alpha$ and chase angles along the chain of isosceles triangles $AED,$ $EDB,$ and $DBC.$

大提示：

外角给出 $\angle DEB = 2\alpha$ ；然后 $D$ 点处沿 $\overline{AC}$ 的三个角会迫使 $\angle BDC = 3\alpha = \angle BCD$ 。

The exterior angle gives $\angle DEB = 2\alpha;$ then the three angles at $D$ along $\overline{AC}$ force $\angle BDC = 3\alpha = \angle BCD.$

解答：

设 $\angle BAC = \alpha$ 。因为 $AE = ED$ ，三角形 $AED$ 是等腰三角形，且 $\angle ADE = \angle DAE = \alpha$ ，所以 $E$ 点处的外角给出 $\angle DEB = 2\alpha$ 。又因为 $ED = DB$ ，三角形 $EDB$ 满足 $\angle DBE = \angle DEB = 2\alpha$ ，从而 $\angle EDB = 180^\circ - 4\alpha$ 。

在 $D$ 点处，位于线段 $\overline{AC}$ 上的三个角之和为平角： $\alpha + (180^\circ - 4\alpha)$ $+ \angle BDC = 180^\circ$ ，所以 $\angle BDC = 3\alpha$ 。因为 $DB = BC$ ，也有 $\angle BCD = \angle BDC = 3\alpha$ 。又 $AB = AC$ ，所以 $\angle ABC = \angle ACB = 3\alpha$ ，对 $\triangle ABC$ 求角和，得 $\alpha + 3\alpha + 3\alpha = 180^\circ$ ，因此 $\alpha = \frac{180}{7}$ 度。

因此 $\angle ABC = 3\alpha = \frac{540}{7}$ 度，且 $m + n = 540 + 7 = 547$ 。

Let $\angle BAC = \alpha.$ Since $AE = ED,$ triangle $AED$ is isosceles with $\angle ADE = \angle DAE = \alpha,$ so the exterior angle at $E$ gives $\angle DEB = 2\alpha.$ Since $ED = DB,$ triangle $EDB$ has $\angle DBE = \angle DEB = 2\alpha,$ hence $\angle EDB = 180^\circ - 4\alpha.$

The three angles at $D$ on segment $\overline{AC}$ sum to a straight angle: $\alpha + (180^\circ - 4\alpha)$ $+ \angle BDC = 180^\circ,$ so $\angle BDC = 3\alpha.$ Since $DB = BC,$ also $\angle BCD = \angle BDC = 3\alpha.$ But $AB = AC$ makes $\angle ABC = \angle ACB = 3\alpha,$ so the angle sum of $\triangle ABC$ gives $\alpha + 3\alpha + 3\alpha = 180^\circ,$ hence $\alpha = \frac{180}{7}$ degrees.

Then $\angle ABC = 3\alpha = \frac{540}{7}$ degrees, and $m + n = 540 + 7 = 547.$

2020 AIME I 第 1 题

答案：547

难度评级：2150

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