Question

递增数列 $3$ 、 $15$ 、 $24$ 、 $48$ 、 $\ldots$ 由所有比完全平方数小一的 $3$ 的正倍数组成。该数列的第 $1994$ 项除以 $1000$ 的余数是多少？

The increasing sequence $3,$ $15,$ $24,$ $48,$ $\ldots$ consists of those positive multiples of $3$ that are one less than a perfect square. What is the remainder when the $1994$ th term of the sequence is divided by $1000?$

答案

答案：63

知识点：模运算区间内整数计数完全平方数

难度评级：1640

小提示：

数 $k^2-1$ 能被 $3$ 整除，当且仅当 $k$ 不能被 $3$ 整除

A number $k^2-1$ is divisible by $3$ exactly when $k$ is not divisible by $3$

大提示：

将符合条件的 $k$ 值每两个分为一组，再将所需的平方数模 $1000$ 化简

Index the eligible values of $k$ in pairs, then reduce the required square modulo $1000$

解答：

各项形如 $k^2-1$ ，其中整数 $k\geq2$ 且不能被 $3$ 整除。每三个连续的 $k$ 中有两个符合条件。由于 $1994=2\cdot997$ ，该项对应 $k=3(997)+1=2992$ 。又因为 $2992\equiv992\equiv-8\pmod {1000}$ ，所以 $\begin{aligned}k^2-1&\equiv(-8)^2-1\\&\equiv63\pmod {1000}\end{aligned}\text{。}$

The terms are $k^2-1$ for integers $k\geq2$ not divisible by $3.$ In each block of three consecutive $k$ ’s there are two eligible values. The $1994=2\cdot997$ th corresponds to $k=3(997)+1=2992.$ Since $2992\equiv992\equiv-8\pmod {1000},$ $\begin{aligned}k^2-1&\equiv(-8)^2-1\\&\equiv63\pmod {1000}.\end{aligned}$

1994 AIME 第 1 题

答案：63

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题