Question

El número $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ se puede escribir como $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n$ .

The number $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ , los dos términos valen $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ y $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125$ . Su suma es $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Como $\gcd(1, 6) = 1$ , la respuesta es $m + n = 1 + 6 = 7$ .

Since $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,$ the two terms equal $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ and $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.$ Their sum is $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since $\gcd(1, 6) = 1,$ the answer is $m + n = 1 + 6 = 7.$

2000 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años