Question

El número $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The number $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 7

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Usa $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ para reescribir ambos términos como logaritmos en base $2000^6$ .

Use $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ to rewrite both terms as logarithms with base $2000^6$

Pista grande:

La suma se convierte en $\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3),$ y $4^2 \cdot 5^3 = 2000$ .

The sum becomes $\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3),$ and $4^2 \cdot 5^3 = 2000$

Solución:

Como $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,$ los dos términos valen $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ y $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.$ Su suma es $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Como $\gcd(1, 6) = 1,$ la respuesta es $m + n = 1 + 6 = 7.$

Since $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,$ the two terms equal $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ and $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.$ Their sum is $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since $\gcd(1, 6) = 1,$ the answer is $m + n = 1 + 6 = 7.$

2000 AIME II Problema 1

Respuesta: 7

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años