Question

¿Para cuántos valores de $k$ es $12^{12}$ el mínimo común múltiplo de los enteros positivos $6^6$ , $8^8$ y $k$ ?

For how many values of $k$ is $12^{12}$ the least common multiple of the positive integers $6^6,$ $8^8,$ and $k?$

Respuesta

Solución:

Como $12^{12} = 2^{24} 3^{12}$ , $6^6 = 2^6 3^6$ y $8^8 = 2^{24}$ , el número $k$ no puede contener primos distintos de $2$ y $3$ , así que escribimos $k = 2^a 3^b$ . El mínimo común múltiplo de los tres números es entonces $2^{\max(24,\,a)} \, 3^{\max(6,\,b)}$ .

Igualarlo a $2^{24} 3^{12}$ exige $\max(24, a) = 24$ , es decir $0 \le a \le 24$ , y $\max(6, b) = 12$ , es decir $b = 12$ . Eso da $25$ opciones para $a$ y una para $b$ , así que hay $25$ valores de $k$ .

Since $12^{12} = 2^{24} 3^{12},$ $6^6 = 2^6 3^6,$ and $8^8 = 2^{24},$ the number $k$ can involve no primes other than $2$ and $3,$ so write $k = 2^a 3^b.$ The least common multiple of the three numbers is then $2^{\max(24,\,a)} \, 3^{\max(6,\,b)}.$

Matching this to $2^{24} 3^{12}$ requires $\max(24, a) = 24,$ i.e. $0 \le a \le 24,$ and $\max(6, b) = 12,$ i.e. $b = 12.$ That gives $25$ choices for $a$ and one for $b,$ so there are $25$ values of $k.$

1998 AIME Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años