Question

¿Cuántos cuadrados perfectos positivos menores que $10^6$ son múltiplos de $24$ ?

How many positive perfect squares less than $10^6$ are multiples of $24?$

Respuesta

Solución:

Como $24 = 2^3 \cdot 3,$ un cuadrado $N^2$ es múltiplo de $24$ exactamente cuando $N$ es múltiplo de $12:$ el factor $2^3$ obliga a que $N$ contenga $2^2,$ el factor $3$ obliga a que $N$ contenga $3,$ y recíprocamente $(12m)^2 = 144m^2$ siempre es múltiplo de $24.$ Además $N^2 \lt 10^6$ exactamente cuando $N \lt 1000.$

Los múltiplos de $12$ menores que $1000$ son $12, 24, \ldots, 996,$ y hay $\frac{996}{12} = 83$ de ellos.

Since $24 = 2^3 \cdot 3,$ a square $N^2$ is a multiple of $24$ exactly when $N$ is a multiple of $12:$ the factor $2^3$ forces $N$ to contain $2^2,$ the factor $3$ forces $N$ to contain $3,$ and conversely $(12m)^2 = 144m^2$ is always a multiple of $24.$ Also $N^2 \lt 10^6$ exactly when $N \lt 1000.$

The multiples of $12$ less than $1000$ are $12, 24, \ldots, 996,$ and there are $\frac{996}{12} = 83$ of them.

2007 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años