Question

Halla el menor entero positivo $n$ tal que, sin importar cómo se exprese $10^n$ como producto de dos enteros positivos cualesquiera, al menos uno de esos dos enteros contenga el dígito $0.$

Find the least positive integer $n$ such that no matter how $10^n$ is expressed as the product of any two positive integers, at least one of these two integers contains the digit $0.$

Respuesta

Solución:

Toda factorización es $10^n = (2^x 5^y)(2^{n-x} 5^{n-y}).$ Si un factor es divisible a la vez por $2$ y por $5,$ es un múltiplo de $10$ y termina en el dígito $0.$ Así que la única factorización posible sin ceros es $10^n = 2^n \cdot 5^n,$ y necesitamos el menor $n$ para el cual $2^n$ o $5^n$ contenga un dígito $0.$

Las potencias $2^1, \ldots, 2^8$ son $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256$ , sin ceros. Las potencias $5^1, \ldots, 5^7$ son $5, 25, 125, 625,$ $3125, 15625, 78125$ , sin ceros, pero $5^8 = 390625$ contiene un $0.$

Por lo tanto, toda factorización de $10^8$ contiene un dígito $0,$ mientras que $10^7 = 2^7 \cdot 5^7 = 128 \cdot 78125$ no, así que la respuesta es $8.$

Every factorization is $10^n = (2^x 5^y)(2^{n-x} 5^{n-y}).$ If a factor is divisible by both $2$ and $5,$ it is a multiple of $10$ and ends in the digit $0.$ So the only possible zero-free factorization is $10^n = 2^n \cdot 5^n,$ and we need the least $n$ for which $2^n$ or $5^n$ contains a digit $0.$

The powers $2^1, \ldots, 2^8$ are $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256$ — no zeros. The powers $5^1, \ldots, 5^7$ are $5, 25, 125, 625,$ $3125, 15625, 78125$ — no zeros — but $5^8 = 390625$ contains a $0.$

Hence every factorization of $10^8$ contains a digit $0,$ while $10^7 = 2^7 \cdot 5^7 = 128 \cdot 78125$ does not, so the answer is $8.$

2000 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años