Question

Un poliedro convexo tiene como caras $12$ cuadrados, $8$ hexágonos regulares y $6$ octágonos regulares. En cada vértice del poliedro se encuentran un cuadrado, un hexágono y un octágono. ¿Cuántos segmentos que unen vértices del poliedro están en su interior, en vez de estar sobre una arista o una cara?

A convex polyhedron has for its faces $12$ squares, $8$ regular hexagons, and $6$ regular octagons. At each vertex of the polyhedron one square, one hexagon, and one octagon meet. How many segments joining vertices of the polyhedron lie in the interior of the polyhedron rather than along an edge or a face?

Respuesta

Respuesta: 840

Conceptos:poliedro doble conteo combinaciones

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Cuenta por duplicado las incidencias cara-vértice y cara-arista para hallar $V$ y $E$

Double-count face-vertex and face-edge incidences to find $V$ and $E$

Pista grande:

Cuenta todos los pares de vértices y resta los que están juntos en una cara, corrigiendo el doble conteo de las aristas

Count all vertex pairs, then subtract pairs lying together on a face, correcting the double count of edges

Solución:

La cantidad total de incidencias cara-vértice es $12(4)+8(6)+6(8)=144.$ En cada vértice se encuentran tres caras, así que $V=48.$ La misma suma cuenta dos veces cada arista, por lo que $E=72.$

Hay $\binom{48}{2}=1128$ pares de vértices. Al sumar los pares de cada cara se obtiene $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360.$ Cada arista se contó dos veces en esta suma y cada otro par de una misma cara una vez, así que la cantidad de pares distintos de la frontera es $360-E=288.$ Por tanto, $1128-288=840$ segmentos que unen vértices están en el interior.

The total number of face-vertex incidences is $12(4)+8(6)+6(8)=144.$ Three faces meet at each vertex, so $V=48.$ The same sum counts each edge twice, so $E=72.$

There are $\binom{48}{2}=1128$ vertex pairs. Summing pairs on faces gives $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360.$ Every edge was counted twice in this sum and every other same-face pair once, so the number of distinct boundary pairs is $360-E=288.$ Hence $1128-288=840$ joining segments lie in the interior.

1988 AIME Problema 10

Respuesta: 840

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años