Question

En un juego de salón, el mago pide a un participante que piense en un número de tres cifras $(abc),$ donde $a,$ $b,$ y $c$ representan cifras en base $10$ en el orden indicado. Después le pide formar los números $(acb),$ $(bca),$ $(bac),$ $(cab),$ y $(cba),$ sumar estos cinco números y revelar su suma $N.$ Si conoce $N,$ el mago puede identificar el número original $(abc).$ Haz de mago y determina $(abc)$ si $N=3194.$

In a parlor game, the magician asks one of the participants to think of a three-digit number $(abc),$ where $a,$ $b,$ and $c$ represent base- $10$ digits in the indicated order. The magician then asks this person to form the numbers $(acb),$ $(bca),$ $(bac),$ $(cab),$ and $(cba),$ to add these five numbers, and to reveal their sum $N.$ If told $N,$ the magician can identify the original number $(abc).$ Play the role of the magician and determine $(abc)$ if $N=3194.$

Respuesta

Respuesta: 358

Conceptos:dígitos valor posicional sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Incluye primero el número original y suma las seis permutaciones

First include the original number and sum all six permutations

Pista grande:

Si $s=a+b+c,$ expresa el número original en función de $s$ y $N$

If $s=a+b+c,$ express the original number in terms of $s$ and $N$

Solución:

En las seis permutaciones, cada cifra aparece dos veces en cada posición, así que su total es $222(a+b+c).$ Sea $s=a+b+c$ y sea el número original $M.$ Como los otros cinco suman $3194,$ $M=222s-3194.$ Puesto que $100\leq M\leq999,$ necesitamos $15\leq s\leq18.$ Al probar estos cuatro valores se obtienen $M=136,$ $M=358,$ $M=580,$ y $M=802,$ respectivamente. Solo $358$ tiene una suma de cifras igual al valor supuesto, a saber, $16.$ Por lo tanto, el número original es $358.$

Across all six permutations, each digit occurs twice in each place, so their total is $222(a+b+c).$ Put $s=a+b+c$ and let the original number be $M.$ Since the other five sum to $3194,$ $M=222s-3194.$ Because $100\leq M\leq999,$ we need $15\leq s\leq18.$ Testing these four values gives $M=136,$ $M=358,$ $M=580,$ and $M=802,$ respectively. Only $358$ has digit sum equal to its assumed value, namely $16.$ Therefore the original number is $358.$

1986 AIME Problema 10

Respuesta: 358

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años