Question

El polinomio $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ puede escribirse en la forma $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}$ donde $y=x+1$ y los $a_i$ son constantes. Halla $a_2.$

The polynomial $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ may be written in the form $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}$ where $y=x+1$ and the $a_i$ ’s are constants. Find $a_2.$

Respuesta

Respuesta: 816

Conceptos:teorema del binomio combinaciones polinomio

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Sustituye $x=y-1$ antes de desarrollar

Substitute $x=y-1$ before expanding

Pista grande:

Halla solo el coeficiente de $y^2$ en cada potencia y usa la identidad del palo de hockey

Find only the coefficient of $y^2$ in each power and use the hockey-stick identity

Solución:

El polinomio es $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.$ Como $x=y-1,$ se convierte en $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.$ Para $k\geq2,$ el coeficiente de $y^2$ en $(1-y)^k$ es $\binom{k}{2}.$ Por tanto, $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.$

The polynomial is $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.$ Since $x=y-1,$ this becomes $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.$ For $k\geq2,$ the coefficient of $y^2$ in $(1-y)^k$ is $\binom{k}{2}.$ Hence $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.$

1986 AIME Problema 11

Respuesta: 816

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años