Question

Se colocan doce discos congruentes sobre un círculo $C$ de radio $1$ , de modo que los doce discos cubran $C,$ que ningún par de discos se superponga y que cada uno de los doce discos sea tangente a sus dos vecinos. La disposición resultante se muestra en la figura. La suma de las áreas de los doce discos se puede escribir en la forma $\pi(a-b\sqrt c),$ donde $a,$ $b,$ $c$ son enteros positivos y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a+b+c.$

Twelve congruent disks are placed on a circle $C$ of radius $1$ in such a way that the twelve disks cover $C,$ no two of the disks overlap, and so that each of the twelve disks is tangent to its two neighbors. The resulting arrangement of disks is shown in the figure below. The sum of the areas of the twelve disks can be written in the form $\pi(a-b\sqrt c),$ where $a,$ $b,$ $c$ are positive integers and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a+b+c.$

Respuesta

Respuesta: 135

Conceptos:círculo circunferencias tangentes triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Une el centro de $C$ con los centros y el punto de tangencia de dos discos vecinos

Join the center of $C$ to the centers and tangency point of two neighboring disks

Pista grande:

El triángulo rectángulo resultante tiene un ángulo de $15^\circ$ , cateto adyacente $1$ y cateto opuesto igual al radio de un disco

The resulting right triangle has angle $15^\circ$ , adjacent leg $1$ , and opposite leg equal to a disk radius

Solución:

Sea $O$ el centro de $C,$ sean $U$ y $V$ los centros de dos discos vecinos, y sea $T$ su punto de tangencia. Por la simetría de orden $12,$ $\angle UOV=30^\circ,$ y $OT$ biseca ese ángulo. Además, $T$ es el punto medio de $\overline{UV},$ por lo que el triángulo $OUT$ es rectángulo en $T.$ Como $T$ pertenece a $C,$ $OT=1,$ mientras que $UT$ es el radio $r$ de un disco. Así, $r=\tan15^\circ=2-\sqrt3.$ El área total es $\begin{aligned}12\pi r^2&=12\pi(7-4\sqrt3)\\&=\pi(84-48\sqrt3).\end{aligned}$ Por lo tanto, $a+b+c=84+48+3=135.$

Let $O$ be the center of $C,$ let $U$ and $V$ be the centers of two neighboring disks, and let $T$ be their tangency point. By the $12$ -fold symmetry, $\angle UOV=30^\circ,$ and $OT$ bisects that angle. Also $T$ is the midpoint of $\overline{UV},$ so triangle $OUT$ is right at $T.$ Since $T$ lies on $C,$ $OT=1,$ while $UT$ is the disk radius $r.$ Thus $r=\tan15^\circ=2-\sqrt3.$ The total area is $\begin{aligned}12\pi r^2&=12\pi(7-4\sqrt3)\\&=\pi(84-48\sqrt3).\end{aligned}$ Therefore $a+b+c=84+48+3=135.$

1991 AIME Problema 11

Respuesta: 135

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años