Question

Alfred y Bonnie juegan por turnos a lanzar una moneda equilibrada. El ganador de cada partida es la primera persona que obtiene cara. Juegan varias partidas con la regla de que el perdedor de una partida lanza primero en la siguiente. Supón que Alfred lanza primero en la primera partida y que la probabilidad de que gane la sexta es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. ¿Cuáles son las tres últimas cifras de $m+n$ ?

Alfred and Bonnie play a game in which they take turns tossing a fair coin. The winner of a game is the first person to obtain a head. Alfred and Bonnie play this game several times with the stipulation that the loser of a game goes first in the next game. Suppose that Alfred goes first in the first game, and that the probability that he wins the sixth game is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What are the last three digits of $m+n?$

Respuesta

Respuesta: 93

Conceptos:probabilidad básica recursión probabilidad recursiva

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Calcula la probabilidad de que Alfred gane una partida cuando él lanza primero y cuando Bonnie lanza primero

Compute Alfred’s chance to win a single game when he goes first and when Bonnie goes first

Pista grande:

Si $p_r$ es la probabilidad de que Alfred gane la partida $r$ , expresa $p_{r+1}$ en términos de $p_r$

If $p_r$ is Alfred’s chance to win game $r$ , express $p_{r+1}$ in terms of $p_r$

Solución:

Alfred gana una partida con probabilidad $\frac{2}{3}$ cuando comienza él y con probabilidad $\frac{1}{3}$ cuando comienza Bonnie. Como el perdedor comienza la partida siguiente, $\begin{aligned}p_{r+1}&=\frac23(1-p_r)+\frac13p_r\\&=\frac23-\frac13p_r,\qquad p_1=\frac23.\end{aligned}$ Por lo tanto, $p_r-\frac12=\frac{(-\frac{1}{3})^{r-1}}{6}.$ En particular, $p_6=\frac12-\frac1{1458}=\frac{364}{729}.$ Así, $m+n=1093,$ cuyas tres últimas cifras son $093.$

Alfred wins a game with probability $\frac{2}{3}$ when he starts and $\frac{1}{3}$ when Bonnie starts. Since the loser starts the next game, $\begin{aligned}p_{r+1}&=\frac23(1-p_r)+\frac13p_r\\&=\frac23-\frac13p_r,\qquad p_1=\frac23.\end{aligned}$ Thus $p_r-\frac12=\frac{(-\frac{1}{3})^{r-1}}{6}.$ In particular, $p_6=\frac12-\frac1{1458}=\frac{364}{729}.$ Therefore $m+n=1093,$ whose last three digits are $093.$

1993 AIME Problema 11

Respuesta: 93

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años