Question

La fórmula de Euler afirma que, para un poliedro convexo con $V$ vértices, $E$ aristas y $F$ caras, $V-E+F=2.$ Cierto poliedro convexo tiene $32$ caras, cada una de las cuales es un triángulo o un pentágono. En cada uno de sus $V$ vértices concurren $T$ caras triangulares y $P$ caras pentagonales. ¿Cuál es el valor de $100P+10T+V$ ?

Euler’s formula states that for a convex polyhedron with $V$ vertices, $E$ edges, and $F$ faces, $V-E+F=2.$ A particular convex polyhedron has $32$ faces, each of which is either a triangle or a pentagon. At each of its $V$ vertices, $T$ triangular faces and $P$ pentagonal faces meet. What is the value of $100P+10T+V?$

Respuesta

Respuesta: 250

Conceptos:doble conteo Fórmula de los poliedros de Euler poliedro

Nivel de dificultad: 2500

Pista pequeña:

Sea $x$ el número de caras triangulares y cuenta las incidencias cara-arista y cara-vértice

Let $x$ be the number of triangular faces and count face-edge and face-vertex incidences

Pista grande:

Usa la fórmula de Euler para expresar $x$ en términos de $V$ y luego obtén dos condiciones de divisibilidad para $V$

Use Euler’s formula to express $x$ in terms of $V$ , then obtain two divisibility conditions on $V$

Solución:

Sea $x$ el número de caras triangulares, de modo que hay $32-x$ pentágonos y $E=\frac{3x+5(32-x)}2=80-x.$ La fórmula de Euler da $V+x=50.$ Al contar las incidencias cara-vértice se obtiene $\begin{aligned}TV&=3x=150-3V,\\PV&=5(32-x)=5V-90.\end{aligned}$ Por consiguiente, $V(T+3)=150$ y $V(5-P)=90.$ Además, $18\leq V\leq50,$ así que el único divisor común de $150$ y $90$ en ese intervalo es $V=30.$ Entonces $T=2$ y $P=2,$ lo que da $100P+10T+V=250.$

Let $x$ be the number of triangular faces, so there are $32-x$ pentagons and $E=\frac{3x+5(32-x)}2=80-x.$ Euler’s formula gives $V+x=50.$ Counting face-vertex incidences yields $\begin{aligned}TV&=3x=150-3V,\\PV&=5(32-x)=5V-90.\end{aligned}$ Hence $V(T+3)=150$ and $V(5-P)=90.$ Also $18\leq V\leq50,$ so the only common divisor of $150$ and $90$ in that range is $V=30.$ Then $T=2$ and $P=2,$ giving $100P+10T+V=250.$

1993 AIME Problema 10

Respuesta: 250

Nivel de dificultad: 2500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años