Question

Al calcular el seno de cierto ángulo, un profesor distraído no notó que su calculadora no estaba en el modo angular correcto. Tuvo suerte de obtener la respuesta correcta. Los dos menores valores reales positivos de $x$ para los cuales el seno de $x$ grados es el mismo que el seno de $x$ radianes son $\frac{m\pi}{n - \pi}$ y $\frac{p\pi}{q + \pi},$ donde $m,$ $n,$ $p,$ y $q$ son enteros positivos. Halla $m + n + p + q.$

While finding the sine of a certain angle, an absent-minded professor failed to notice that his calculator was not in the correct angular mode. He was lucky to get the right answer. The two least positive real values of $x$ for which the sine of $x$ degrees is the same as the sine of $x$ radians are $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi},$ where $m,$ $n,$ $p,$ and $q$ are positive integers. Find $m + n + p + q.$

Respuesta

Solución:

Un ángulo de $x$ grados es $\frac{\pi x}{180}$ radianes, así que necesitamos $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x.$ Dos ángulos tienen senos iguales exactamente cuando difieren en un múltiplo de $2\pi$ o suman $\pi$ más un múltiplo de $2\pi.$

El primer caso da $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j,$ así que $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi},$ con menor valor positivo $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4.$ El segundo da $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi,$ así que $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi},$ con menor valor positivo $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1.$ Estas son las dos soluciones más pequeñas.

Emparejando $\frac{m\pi}{n - \pi}$ y $\frac{p\pi}{q + \pi}$ se obtiene $m = 360,$ $n = 180,$ $p = 180,$ $q = 180,$ así que $m + n + p + q = 900.$

An angle of $x$ degrees is $\frac{\pi x}{180}$ radians, so we need $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x.$ Two angles have equal sines exactly when they differ by a multiple of $2\pi$ or sum to $\pi$ plus a multiple of $2\pi.$

The first case gives $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j,$ so $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi},$ with least positive value $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4.$ The second gives $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi,$ so $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi},$ with least positive value $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1.$ These are the two smallest solutions.

Matching $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi}$ gives $m = 360,$ $n = 180,$ $p = 180,$ $q = 180,$ so $m + n + p + q = 900.$

2002 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años