Question

Al calcular el seno de cierto ángulo, un profesor distraído no advirtió que su calculadora estaba configurada en una unidad angular incorrecta. Por suerte, obtuvo la respuesta correcta. Los dos menores valores reales positivos de $x$ para los cuales el seno de $x$ grados es igual al seno de $x$ radianes son $\frac{m\pi}{n - \pi}$ y $\frac{p\pi}{q + \pi},$ donde $m,$ $n,$ $p,$ y $q$ son enteros positivos. Halla $m + n + p + q.$

While finding the sine of a certain angle, an absent-minded professor failed to notice that his calculator was not in the correct angular mode. He was lucky to get the right answer. The two least positive real values of $x$ for which the sine of $x$ degrees is the same as the sine of $x$ radians are $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi},$ where $m,$ $n,$ $p,$ and $q$ are positive integers. Find $m + n + p + q.$

Respuesta

Respuesta: 900

Conceptos:trigonometría conversión de unidades

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

$x$ grados son $\frac{\pi x}{180}$ radianes, así que resuelve $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x$

$x$ degrees is $\frac{\pi x}{180}$ radians, so solve $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x$

Pista grande:

Dos ángulos tienen senos iguales cuando difieren en un múltiplo de $2\pi$ o suman $\pi$ más un múltiplo de $2\pi;$ toma el menor caso positivo de cada uno

Two angles have equal sines when they differ by a multiple of $2\pi$ or add up to $\pi$ plus a multiple of $2\pi;$ take the smallest positive case of each

Solución:

Un ángulo de $x$ grados es $\frac{\pi x}{180}$ radianes, así que necesitamos $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x.$ Dos ángulos tienen senos iguales exactamente cuando difieren en un múltiplo de $2\pi$ o suman $\pi$ más un múltiplo de $2\pi.$

El primer caso da $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j,$ así que $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi},$ con menor valor positivo $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4.$ El segundo da $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi,$ así que $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi},$ con menor valor positivo $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1.$ El siguiente valor de la segunda familia triplica al primero y por tanto supera al menor valor de la primera; todos los posteriores son mayores. Así, estas son las dos soluciones más pequeñas.

Emparejando $\frac{m\pi}{n - \pi}$ y $\frac{p\pi}{q + \pi}$ se obtiene $m = 360,$ $n = 180,$ $p = 180,$ $q = 180,$ así que $m + n + p + q = 900.$

An angle of $x$ degrees is $\frac{\pi x}{180}$ radians, so we need $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x.$ Two angles have equal sines exactly when they differ by a multiple of $2\pi$ or sum to $\pi$ plus a multiple of $2\pi.$

The first case gives $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j,$ so $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi},$ with least positive value $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4.$ The second gives $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi,$ so $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi},$ with least positive value $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1.$ The next value in the second family is three times its first and therefore exceeds the first family’s least value; all later values are larger. Thus these are the two smallest solutions.

Matching $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi}$ gives $m = 360,$ $n = 180,$ $p = 180,$ $q = 180,$ so $m + n + p + q = 900.$

2002 AIME II Problema 10

Respuesta: 900

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años