Question

Un disco de radio $1$ es tangente exteriormente a un disco de radio $5.$ Sea $A$ el punto donde los discos son tangentes, $C$ el centro del disco menor, y $E$ el centro del disco mayor. Mientras el disco mayor permanece fijo, se deja que el disco menor ruede por el exterior del disco mayor hasta que el disco menor haya girado un ángulo de $360^\circ.$ Es decir, si el centro del disco menor se ha movido al punto $D,$ y el punto del disco menor que empezó en $A$ se ha movido ahora al punto $B,$ entonces $\overline{AC}$ es paralelo a $\overline{BD}.$ Entonces $\sin^2(\angle BEA) = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A disk with radius $1$ is externally tangent to a disk with radius $5.$ Let $A$ be the point where the disks are tangent, $C$ be the center of the smaller disk, and $E$ be the center of the larger disk. While the larger disk remains fixed, the smaller disk is allowed to roll along the outside of the larger disk until the smaller disk has turned through an angle of $360^\circ.$ That is, if the center of the smaller disk has moved to the point $D,$ and the point on the smaller disk that began at $A$ has now moved to point $B,$ then $\overline{AC}$ is parallel to $\overline{BD}.$ Then $\sin^2(\angle BEA) = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloca $E$ en el origen con $C = (6, 0),$ de modo que $A = (5, 0).$ Cuando un círculo de radio $1$ rueda sin deslizar por fuera de un círculo fijo de radio $5$ y su centro barre un ángulo $\varphi$ alrededor de $E,$ el contacto de rodadura hace girar el disco $5\varphi$ respecto de la línea de los centros, y la revolución de esa línea añade $\varphi$ más, así que el disco gira $6\varphi$ en el marco fijo. Girar $360^\circ$ significa por tanto $\varphi = 60^\circ,$ así que $D = 6(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)$ $= (3, 3\sqrt{3}).$

Tras haber girado $360^\circ,$ el disco está de vuelta en su orientación original, así que el vector desde su centro hasta el punto marcado no cambia: $B = D + (A - C)$ $= (3 - 1, 3\sqrt{3})$ $= (2, 3\sqrt{3}).$ (En particular $\overline{BD}$ es paralelo a $\overline{AC},$ como afirma el problema.)

La semirrecta $EA$ es el semieje $x$ positivo, así que $\begin{aligned} \sin^2(\angle BEA) &= \frac{(3\sqrt{3})^2}{2^2 + (3\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{27}{31}, \end{aligned}$ y $m + n = 27 + 31 = 58.$

Place $E$ at the origin with $C = (6, 0),$ so $A = (5, 0).$ When a circle of radius $1$ rolls without slipping outside a fixed circle of radius $5$ and its center sweeps an angle $\varphi$ about $E,$ the rolling contact turns the disk through $5\varphi$ relative to the line of centers, and the revolution of that line adds $\varphi$ more, so the disk turns $6\varphi$ in the ground frame. Turning through $360^\circ$ therefore means $\varphi = 60^\circ,$ so $D = 6(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)$ $= (3, 3\sqrt{3}).$

Having turned through a full $360^\circ,$ the disk is back in its original orientation, so the vector from its center to the marked point is unchanged: $B = D + (A - C)$ $= (3 - 1, 3\sqrt{3})$ $= (2, 3\sqrt{3}).$ (In particular $\overline{BD}$ is parallel to $\overline{AC},$ as the problem states.)

The ray $EA$ is the positive $x$ -axis, so $\begin{aligned} \sin^2(\angle BEA) &= \frac{(3\sqrt{3})^2}{2^2 + (3\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{27}{31}, \end{aligned}$ and $m + n = 27 + 31 = 58.$

2014 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años