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2021 AIME II Problema 10

Intenta el Problema 10 del 2021 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Dos esferas de radio 3636 y una esfera de radio 1313 son cada una tangente externamente a las otras dos esferas y a dos planos distintos P\mathcal{P} y Q.\mathcal{Q}. La intersección de los planos P\mathcal{P} y Q\mathcal{Q} es la recta ℓ.\ell. La distancia desde la recta ℓ\ell hasta el punto donde la esfera de radio 1313 es tangente al plano P\mathcal{P} es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halle m+n.m + n.
Two spheres with radii 3636 and one sphere with radius 1313 are each externally tangent to the other two spheres and to two different planes P\mathcal{P} and Q.\mathcal{Q}. The intersection of planes P\mathcal{P} and Q\mathcal{Q} is the line ℓ.\ell. The distance from line ℓ\ell to the point where the sphere with radius 1313 is tangent to plane P\mathcal{P} is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 335
Conceptos:esferaGeometría 3DTeorema de Pitágorastrigonometría
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:
El centro de cada esfera está en el semiplano bisector del ángulo diedro 2θ,2\theta, a distancia rsin⁡θ\frac{r}{\sin\theta} de ℓ\ell
Each sphere’s center lies on the bisector half-plane of the dihedral angle 2θ,2\theta, at distance rsin⁡θ\frac{r}{\sin\theta} from ℓ\ell
Pista grande:
La tangencia de la esfera pequeña con una grande da (23sin⁡θ)2+362=492;\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2; observe que 232+242=110523^2 + 24^2 = 1105
Tangency of the small sphere to a big one gives (23sin⁡θ)2+362=492;\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2; note 232+242=110523^2 + 24^2 = 1105
Solución:
Una esfera de radio rr tangente a ambos planos tiene su centro en el semiplano que biseca el ángulo diedro. Si el ángulo diedro es 2θ,2\theta, el centro está a distancia rsin⁡θ\frac{r}{\sin\theta} de ℓ.\ell. En la sección transversal que pasa por el centro y es perpendicular a ℓ,\ell, el punto de ℓ,\ell, el centro y el punto de tangencia sobre P\mathcal{P} forman un triángulo rectángulo con ángulo θ\theta en ℓ,\ell, así que el punto de tangencia está a distancia rcos⁡θsin⁡θ\frac{r\cos\theta}{\sin\theta} de ℓ.\ell.
Medimos posiciones a lo largo de ℓ.\ell. Los centros de las dos esferas de radio 3636 están ambos a distancia 36sin⁡θ\frac{36}{\sin\theta} de ℓ\ell y están separados por 7272, así que difieren en 7272 a lo largo de ℓ,\ell, y por simetría el centro de radio 1313 queda a mitad de camino entre ellos a lo largo de ℓ,\ell, a distancia 13sin⁡θ\frac{13}{\sin\theta} de ℓ.\ell. La tangencia externa hace que su distancia a cada centro grande sea 49:49: (36sin⁡θ−13sin⁡θ)2+362=492,\left(\frac{36}{\sin\theta} - \frac{13}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2, de modo que (23sin⁡θ)2=492−362=1105.\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 = 49^2 - 36^2 = 1105. Como 232+242=1105,23^2 + 24^2 = 1105, obtenemos sin⁡θ=231105\sin\theta = \frac{23}{\sqrt{1105}} y cos⁡θ=241105.\cos\theta = \frac{24}{\sqrt{1105}}.
La distancia buscada es 13cos⁡θsin⁡θ=13⋅2423=31223,\frac{13\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{13 \cdot 24}{23} = \frac{312}{23}, que ya está en su forma más simple, así que m+n=312+23=335.m + n = 312 + 23 = 335.
A sphere of radius rr tangent to both planes has its center on the half-plane bisecting the dihedral angle. If the dihedral angle is 2θ,2\theta, the center is at distance rsin⁡θ\frac{r}{\sin\theta} from ℓ.\ell. In the cross-section through the center perpendicular to ℓ,\ell, the point of ℓ,\ell, the center, and the tangent point on P\mathcal{P} form a right triangle with angle θ\theta at ℓ,\ell, so the tangent point lies at distance rcos⁡θsin⁡θ\frac{r\cos\theta}{\sin\theta} from ℓ.\ell.
Measure positions along ℓ.\ell. The centers of the two radius-3636 spheres are both at distance 36sin⁡θ\frac{36}{\sin\theta} from ℓ\ell and are 7272 apart, so they differ by 7272 along ℓ,\ell, and by symmetry the radius-1313 center sits halfway between them along ℓ,\ell, at distance 13sin⁡θ\frac{13}{\sin\theta} from ℓ.\ell. External tangency makes its distance to each big center 49:49: (36sin⁡θ−13sin⁡θ)2+362=492,\left(\frac{36}{\sin\theta} - \frac{13}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2, so (23sin⁡θ)2=492−362=1105.\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 = 49^2 - 36^2 = 1105. Since 232+242=1105,23^2 + 24^2 = 1105, we get sin⁡θ=231105\sin\theta = \frac{23}{\sqrt{1105}} and cos⁡θ=241105.\cos\theta = \frac{24}{\sqrt{1105}}.
The required distance is 13cos⁡θsin⁡θ=13⋅2423=31223,\frac{13\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{13 \cdot 24}{23} = \frac{312}{23}, which is in lowest terms, so m+n=312+23=335.m + n = 312 + 23 = 335.
Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

El Problema 10 en otros años

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