Question

Dos esferas de radio $36$ y una esfera de radio $13$ son cada una tangente externamente a las otras dos esferas y a dos planos distintos $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ . La intersección de los planos $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ es la recta $\ell$ . La distancia desde la recta $\ell$ hasta el punto donde la esfera de radio $13$ es tangente al plano $\mathcal{P}$ es $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n$ .

Two spheres with radii $36$ and one sphere with radius $13$ are each externally tangent to the other two spheres and to two different planes $\mathcal{P}$ and $\mathcal{Q}.$ The intersection of planes $\mathcal{P}$ and $\mathcal{Q}$ is the line $\ell.$ The distance from line $\ell$ to the point where the sphere with radius $13$ is tangent to plane $\mathcal{P}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Una esfera de radio $r$ tangente a ambos planos tiene su centro en el semiplano que biseca el ángulo diedro. Si el ángulo diedro es $2\theta$ , el centro está a distancia $\frac{r}{\sin\theta}$ de $\ell$ . En la sección transversal que pasa por el centro y es perpendicular a $\ell$ , el punto de $\ell$ , el centro y el punto de tangencia sobre $\mathcal{P}$ forman un triángulo rectángulo con ángulo $\theta$ en $\ell$ , así que el punto de tangencia está a distancia $\frac{r\cos\theta}{\sin\theta}$ de $\ell$ .

Medimos posiciones a lo largo de $\ell$ . Los centros de las dos esferas de radio $36$ están ambos a distancia $\frac{36}{\sin\theta}$ de $\ell$ y están separados por $72$ , así que difieren en $72$ a lo largo de $\ell$ , y por simetría el centro de radio $13$ queda a mitad de camino entre ellos a lo largo de $\ell$ , a distancia $\frac{13}{\sin\theta}$ de $\ell$ . La tangencia externa hace que su distancia a cada centro grande sea $49$ : $\left(\frac{36}{\sin\theta} - \frac{13}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2,$ de modo que $\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 = 49^2 - 36^2 = 1105$ . Como $23^2 + 24^2 = 1105$ , obtenemos $\sin\theta = \frac{23}{\sqrt{1105}}$ y $\cos\theta = \frac{24}{\sqrt{1105}}$ .

La distancia buscada es $\frac{13\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{13 \cdot 24}{23} = \frac{312}{23}$ , que ya está en su forma más simple, así que $m + n = 312 + 23 = 335$ .

A sphere of radius $r$ tangent to both planes has its center on the half-plane bisecting the dihedral angle. If the dihedral angle is $2\theta,$ the center is at distance $\frac{r}{\sin\theta}$ from $\ell.$ In the cross-section through the center perpendicular to $\ell,$ the point of $\ell,$ the center, and the tangent point on $\mathcal{P}$ form a right triangle with angle $\theta$ at $\ell,$ so the tangent point lies at distance $\frac{r\cos\theta}{\sin\theta}$ from $\ell.$

Measure positions along $\ell.$ The centers of the two radius- $36$ spheres are both at distance $\frac{36}{\sin\theta}$ from $\ell$ and are $72$ apart, so they differ by $72$ along $\ell,$ and by symmetry the radius- $13$ center sits halfway between them along $\ell,$ at distance $\frac{13}{\sin\theta}$ from $\ell.$ External tangency makes its distance to each big center $49:$ $\left(\frac{36}{\sin\theta} - \frac{13}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2,$ so $\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 = 49^2 - 36^2 = 1105.$ Since $23^2 + 24^2 = 1105,$ we get $\sin\theta = \frac{23}{\sqrt{1105}}$ and $\cos\theta = \frac{24}{\sqrt{1105}}.$

The required distance is $\frac{13\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{13 \cdot 24}{23} = \frac{312}{23},$ which is in lowest terms, so $m + n = 312 + 23 = 335.$

2021 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años