Question

Siete equipos juegan un torneo de fútbol en el que cada equipo juega contra cada uno de los demás exactamente una vez. No hay empates, cada equipo tiene una probabilidad del $50\%$ de ganar cada partido que juega, y los resultados de los partidos son independientes. En cada partido, el ganador recibe $1$ punto y el perdedor obtiene $0$ puntos. Los puntos totales se acumulan para decidir las posiciones de los equipos. En el primer partido del torneo, el equipo $A$ vence al equipo $B.$ La probabilidad de que el equipo $A$ termine con más puntos que el equipo $B$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Seven teams play a soccer tournament in which each team plays every other team exactly once. No ties occur, each team has a $50\%$ chance of winning each game it plays, and the outcomes of the games are independent. In each game, the winner is awarded $1$ point and the loser gets $0$ points. The total points are accumulated to decide the ranks of the teams. In the first game of the tournament, team $A$ beats team $B.$ The probability that team $A$ finishes with more points than team $B$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 831

Conceptos:probabilidad binomial simetría combinaciones

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

$A$ empieza con un punto de ventaja y nunca vuelve a jugar contra $B$ , así que $A$ termina por delante exactamente cuando el equipo $A$ gana al menos tantos de sus $5$ partidos restantes como $B.$

$A$ starts one point ahead and never plays $B$ again, so $A$ finishes ahead exactly when $A$ wins at least as many of its $5$ remaining games as $B$ does.

Pista grande:

La probabilidad de que los recuentos de victorias restantes sean iguales es $\sum_k \frac{\binom{5}{k}^2}{2^{10}};$ por simetría, los demás resultados se reparten equitativamente entre los equipos.

The chance the remaining win counts are equal is $\sum_k \frac{\binom{5}{k}^2}{2^{10}};$ by symmetry the other outcomes split evenly between the teams.

Solución:

Los equipos $A$ y $B$ tienen cada uno $5$ partidos restantes, ninguno entre sí, así que los $2^5 \cdot 2^5 = 1024$ resultados son igualmente probables. Como $A$ ya lidera por un punto, $A$ termina con más puntos exactamente cuando $A$ gana al menos tantos partidos restantes como $B$ .

El número de resultados con recuentos de victorias iguales es $\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k}^2 = \binom{10}{5} = 252.$ Por simetría, los otros $1024 - 252 = 772$ resultados se reparten por igual entre aquellos en los que $A$ gana más partidos y aquellos en los que $B$ gana más.

Así que la probabilidad es $\frac{252 + 386}{1024} = \frac{638}{1024} = \frac{319}{512},$ y $m + n = 319 + 512 = 831.$

Teams $A$ and $B$ each have $5$ games left, none against each other, so all $2^5 \cdot 2^5 = 1024$ outcomes are equally likely. Since $A$ already leads by one point, $A$ finishes with more points exactly when $A$ wins at least as many remaining games as $B$ does.

The number of outcomes with equal win counts is $\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k}^2 = \binom{10}{5} = 252.$ By symmetry, the other $1024 - 252 = 772$ outcomes split evenly between $A$ winning more and $B$ winning more.

So the probability is $\frac{252 + 386}{1024} = \frac{638}{1024} = \frac{319}{512},$ and $m + n = 319 + 512 = 831.$

2006 AIME II Problema 10

Respuesta: 831

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años