Question

Existe un único ángulo $\theta$ entre $0^\circ$ y $90^\circ$ tal que, para los enteros no negativos $n,$ el valor de $\tan(2^n\theta)$ es positivo cuando $n$ es múltiplo de $3,$ y negativo en caso contrario. La medida en grados de $\theta$ es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $p + q.$

There is a unique angle $\theta$ between $0^\circ$ and $90^\circ$ such that for nonnegative integers $n,$ the value of $\tan(2^n\theta)$ is positive when $n$ is a multiple of $3,$ and negative otherwise. The degree measure of $\theta$ is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Como $\tan$ tiene período $180^\circ,$ solo importa $2^n\theta \bmod 180^\circ$ : la tangente es positiva en $(0^\circ, 90^\circ)$ y negativa en $(90^\circ, 180^\circ).$ Suponga que $\theta$ satisface la condición, y sea $\theta'$ la reducción de $8\theta$ módulo $180^\circ;$ como $\tan(8\theta) \gt 0,$ tenemos $\theta' \in (0^\circ, 90^\circ).$ Para todo $n,$ $2^n\theta' \equiv 2^{n+3}\theta \pmod{180^\circ},$ y el patrón de signos para los exponentes $n + 3$ es el mismo que para $n,$ así que $\theta'$ también satisface la condición. Por unicidad, $\theta' = \theta,$ de modo que $7\theta \equiv 0 \pmod{180^\circ}$ y $\theta = \frac{180k}{7}$ grados para algún $k \in \{1, 2, 3\}.$

Pruebe cada uno: para $k = 1,$ $2\theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ$ tiene tangente positiva, falla. Para $k = 2,$ $4\theta = \frac{1440^\circ}{7} \equiv \frac{180^\circ}{7} \approx 25.7^\circ$ tiene tangente positiva, falla. Para $k = 3,$ $\theta = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ:$ entonces $2\theta \approx 154.3^\circ$ y $4\theta \equiv 128.6^\circ$ están ambos en $(90^\circ, 180^\circ),$ y $8\theta \equiv \theta,$ así que el patrón positivo, negativo, negativo se repite para siempre.

Así $\theta = \frac{540}{7}$ grados, y $p + q = 540 + 7 = 547.$

Since $\tan$ has period $180^\circ,$ only $2^n\theta \bmod 180^\circ$ matters: the tangent is positive on $(0^\circ, 90^\circ)$ and negative on $(90^\circ, 180^\circ).$ Suppose $\theta$ satisfies the condition, and let $\theta'$ be the reduction of $8\theta$ modulo $180^\circ;$ since $\tan(8\theta) \gt 0,$ we have $\theta' \in (0^\circ, 90^\circ).$ For every $n,$ $2^n\theta' \equiv 2^{n+3}\theta \pmod{180^\circ},$ and the sign pattern for the exponents $n + 3$ is the same as for $n,$ so $\theta'$ also satisfies the condition. By uniqueness, $\theta' = \theta,$ so $7\theta \equiv 0 \pmod{180^\circ}$ and $\theta = \frac{180k}{7}$ degrees for some $k \in \{1, 2, 3\}.$

Test each: for $k = 1,$ $2\theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ$ has positive tangent — fails. For $k = 2,$ $4\theta = \frac{1440^\circ}{7} \equiv \frac{180^\circ}{7} \approx 25.7^\circ$ has positive tangent — fails. For $k = 3,$ $\theta = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ:$ then $2\theta \approx 154.3^\circ$ and $4\theta \equiv 128.6^\circ$ are both in $(90^\circ, 180^\circ),$ and $8\theta \equiv \theta,$ so the pattern positive, negative, negative repeats forever.

Thus $\theta = \frac{540}{7}$ degrees, and $p + q = 540 + 7 = 547.$

2019 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años