Question

Existe un único ángulo

\theta

entre

0^\circ

y

90^\circ

tal que, para los enteros no negativos

n,

el valor de

\tan(2^n\theta)

es positivo cuando

n

es múltiplo de

3,

y negativo en caso contrario. La medida en grados de

\theta

es

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halle

p + q.

There is a unique angle

\theta

between

0^\circ

and

90^\circ

such that for nonnegative integers

n,

the value of

\tan(2^n\theta)

is positive when

n

is a multiple of

3,

and negative otherwise. The degree measure of

\theta

is

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 547

Conceptos:trigonometría aritmética modular

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Trabaje módulo

180^\circ:

la tangente es positiva para ángulos en

(0^\circ, 90^\circ)

y negativa para ángulos en

(90^\circ, 180^\circ)

Work modulo

180^\circ:

the tangent is positive for angles in

(0^\circ, 90^\circ)

and negative for angles in

(90^\circ, 180^\circ)

Pista grande:

Si

\theta

funciona, la reducción de

8\theta

también funciona (el mismo patrón de signos desplazado tres lugares), así que la unicidad fuerza

8\theta \equiv \theta \pmod{180^\circ}

If

\theta

works, the reduction of

8\theta

works too (same sign pattern shifted by three), so uniqueness forces

8\theta \equiv \theta \pmod{180^\circ}

Solución:

Como

\tan

tiene período

180^\circ,

solo importa

2^n\theta \bmod 180^\circ

: la tangente es positiva en

(0^\circ, 90^\circ)

y negativa en

(90^\circ, 180^\circ).

Suponga que

\theta

satisface la condición, y sea

\theta'

la reducción de

8\theta

módulo

180^\circ;

como

\tan(8\theta) \gt 0,

tenemos

\theta' \in (0^\circ, 90^\circ).

Para todo

n,

2^n\theta' \equiv 2^{n+3}\theta \pmod{180^\circ},

y el patrón de signos para los exponentes

n + 3

es el mismo que para

n,

así que

\theta'

también satisface la condición. Por unicidad,

\theta' = \theta,

de modo que

7\theta \equiv 0 \pmod{180^\circ}

y

\theta = \frac{180k}{7}

grados para algún

k \in \{1, 2, 3\}.

Pruebe cada uno: para

k = 1,

2\theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ

tiene tangente positiva, falla. Para

k = 2,

4\theta = \frac{1440^\circ}{7} \equiv \frac{180^\circ}{7} \approx 25.7^\circ

tiene tangente positiva, falla. Para

k = 3,

\theta = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ:

entonces

2\theta \approx 154.3^\circ

y

4\theta \equiv 128.6^\circ

están ambos en

(90^\circ, 180^\circ),

y

8\theta \equiv \theta,

así que el patrón positivo, negativo, negativo se repite para siempre.

Así

\theta = \frac{540}{7}

grados, y

p + q = 540 + 7 = 547.

Since

\tan

has period

180^\circ,

only

2^n\theta \bmod 180^\circ

matters: the tangent is positive on

(0^\circ, 90^\circ)

and negative on

(90^\circ, 180^\circ).

Suppose

\theta

satisfies the condition, and let

\theta'

be the reduction of

8\theta

modulo

180^\circ;

since

\tan(8\theta) \gt 0,

we have

\theta' \in (0^\circ, 90^\circ).

For every

n,

2^n\theta' \equiv 2^{n+3}\theta \pmod{180^\circ},

and the sign pattern for the exponents

n + 3

is the same as for

n,

so

\theta'

also satisfies the condition. By uniqueness,

\theta' = \theta,

so

7\theta \equiv 0 \pmod{180^\circ}

and

\theta = \frac{180k}{7}

degrees for some

k \in \{1, 2, 3\}.

Test each: for

k = 1,

2\theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ

has positive tangent — fails. For

k = 2,

4\theta = \frac{1440^\circ}{7} \equiv \frac{180^\circ}{7} \approx 25.7^\circ

has positive tangent — fails. For

k = 3,

\theta = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ:

then

2\theta \approx 154.3^\circ

and

4\theta \equiv 128.6^\circ

are both in

(90^\circ, 180^\circ),

and

8\theta \equiv \theta,

so the pattern positive, negative, negative repeats forever.

Thus

\theta = \frac{540}{7}

degrees, and

p + q = 540 + 7 = 547.

2019 AIME II Problema 10

Respuesta: 547

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años