Solución:

Como todos los vértices son puntos reticulares, $w = \overrightarrow{BC}$ es un vector entero con $|w| = |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{50}$, así que $w$ es uno de $(\pm 1, \pm 7)$, $(\pm 7, \pm 1)$, $(\pm 5, \pm 5)$. Escribe $\overrightarrow{AD} = (1, 7) = s\,\hat{u} + h\,\hat{v}$ donde $\hat{u}$ apunta a lo largo de $\overline{AB}$ y $\hat{v}$ es perpendicular. Como $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$, el vector $w$ tiene la misma componente perpendicular $h$, y la igualdad de las longitudes de los lados obliga a que su componente en $\hat{u}$ sea $-s$ (el valor $+s$ da un paralelogramo). Por tanto $(1, 7) - w = 2s\,\hat{u}$ es paralelo a $\overline{AB}$.

Descarta $w = (1, 7)$ (paralelogramo) y $w = (-1, -7)$ (entonces $h = 0$, degenerado). Las opciones $w = (1, -7)$ y $w = (-1, 7)$ hacen que $(1, 7) - w$ sea vertical u horizontal, lo cual está prohibido. Las ocho opciones restantes dan $(1, 7) - w$ igual a $(-6, 6)$, $(-6, 8)$, $(8, 6)$, $(8, 8)$, $(-4, 2)$, $(-4, 12)$, $(6, 2)$, $(6, 12)$, con pendientes $-1$, $-\frac{4}{3}$, $\frac{3}{4}$, $1$, $-\frac{1}{2}$, $-3$, $\frac{1}{3}$, $2$; cada una es realizable colocando $B$ suficientemente lejos a lo largo de $\hat{u}$.

La suma de los valores absolutos es $1 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{2}$ $+ 3 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{119}{12}$, así que $m + n = 119 + 12 = 131$.