Question

Para ciertos pares $(m, n)$ de enteros positivos con $m \ge n$ hay exactamente $50$ enteros positivos distintos $k$ tales que $|\log m - \log k| \lt \log n.$ Halla la suma de todos los valores posibles del producto $mn.$

For certain pairs $(m, n)$ of positive integers with $m \ge n$ there are exactly $50$ distinct positive integers $k$ such that $|\log m - \log k| \lt \log n.$ Find the sum of all possible values of the product $mn.$

Respuesta

Solución:

La desigualdad $|\log m - \log k| \lt \log n$ es equivalente a $\frac{m}{n} \lt k \lt mn.$ Escribe $m = nq + r$ con $0 \le r \lt n;$ como $m \ge n \ge 2$ (para $n = 1$ ningún $k$ funciona), $q \ge 1.$ Los enteros $k$ en el intervalo son $q + 1, q + 2, \ldots, mn - 1,$ así que hay $mn - q - 1 = 50$ de ellos, es decir, $mn - q = 51,$ o $q(n^2 - 1) + nr = 51.$

Para $n \ge 8$ el lado izquierdo es al menos $63,$ así que $2 \le n \le 7.$ Comprobando cada caso, solo funcionan $n = 2,$ $r = 0,$ $q = 17$ (así que $m = 34$ ) y $n = 3,$ $r = 1,$ $q = 6$ (así que $m = 19$ ). Estos dan $mn = 68$ y $mn = 57;$ en efecto, $17 \lt k \lt 68$ y $\frac{19}{3} \lt k \lt 57$ contienen cada uno exactamente $50$ enteros.

La suma de todos los valores posibles de $mn$ es $68 + 57 = 125.$

The inequality $|\log m - \log k| \lt \log n$ is equivalent to $\frac{m}{n} \lt k \lt mn.$ Write $m = nq + r$ with $0 \le r \lt n;$ since $m \ge n \ge 2$ (for $n = 1$ no $k$ works), $q \ge 1.$ The integers $k$ in the interval are $q + 1, q + 2, \ldots, mn - 1,$ so there are $mn - q - 1 = 50$ of them, that is, $mn - q = 51,$ or $q(n^2 - 1) + nr = 51.$

For $n \ge 8$ the left side is at least $63,$ so $2 \le n \le 7.$ Checking each case, only $n = 2,$ $r = 0,$ $q = 17$ (so $m = 34$ ) and $n = 3,$ $r = 1,$ $q = 6$ (so $m = 19$ ) work. These give $mn = 68$ and $mn = 57;$ indeed $17 \lt k \lt 68$ and $\frac{19}{3} \lt k \lt 57$ each contain exactly $50$ integers.

The sum of all possible values of $mn$ is $68 + 57 = 125.$

2009 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años