Question

Sean $ABCD$ y $BCFG$ dos caras de un cubo con $AB = 12.$ Un haz de luz emana del vértice $A$ y se refleja en la cara $BCFG$ en el punto $P,$ que está a $7$ unidades de $\overline{BG}$ y a $5$ unidades de $\overline{BC}.$ El haz sigue reflejándose en las caras del cubo. La longitud del camino de la luz desde que sale del punto $A$ hasta que alcanza por primera vez un vértice del cubo está dada por $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

Let $ABCD$ and $BCFG$ be two faces of a cube with $AB = 12.$ A beam of light emanates from vertex $A$ and reflects off face $BCFG$ at point $P,$ which is $7$ units from $\overline{BG}$ and $5$ units from $\overline{BC}.$ The beam continues to be reflected off the faces of the cube. The length of the light path from the time it leaves point $A$ until it next reaches a vertex of the cube is given by $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloque $A = (0, 0, 0)$ con el cubo $[0, 12]^3$ y $P = (12, 7, 5)$ en la cara $x = 12.$ Reflejar el cubo a través de la cara relevante en cada rebote endereza el camino reflejado en el rayo recto desde $A$ que pasa por $P:$ cada cruce de un plano $x = 12k,$ $y = 12k,$ o $z = 12k$ corresponde a un rebote, y el haz alcanza un vértice del cubo exactamente cuando las tres coordenadas son simultáneamente múltiplos de $12.$

El rayo consiste en los puntos $(12t, 7t, 5t).$ Como $7$ y $5$ son primos con $12,$ las coordenadas $7t$ y $5t$ son divisibles por $12$ por primera vez cuando $t = 12,$ en el punto $(144, 84, 60).$ La longitud del camino es igual a la distancia en línea recta $\begin{aligned} &\sqrt{144^2 + 84^2 + 60^2} \\ &= 12\sqrt{12^2 + 7^2 + 5^2} \\ &= 12\sqrt{218}. \end{aligned}$

Como $218 = 2 \cdot 109$ es libre de cuadrados, $m + n = 12 + 218 = 230.$

Place $A = (0, 0, 0)$ with the cube $[0, 12]^3$ and $P = (12, 7, 5)$ on the face $x = 12.$ Reflecting the cube across the relevant face at each bounce straightens the reflected path into the straight ray from $A$ through $P:$ each crossing of a plane $x = 12k,$ $y = 12k,$ or $z = 12k$ corresponds to a bounce, and the beam reaches a vertex of the cube exactly when all three coordinates are simultaneously multiples of $12.$

The ray consists of the points $(12t, 7t, 5t).$ Since $7$ and $5$ are relatively prime to $12,$ the coordinates $7t$ and $5t$ are first divisible by $12$ when $t = 12,$ at the point $(144, 84, 60).$ The path length equals the straight-line distance $\begin{aligned} &\sqrt{144^2 + 84^2 + 60^2} \\ &= 12\sqrt{12^2 + 7^2 + 5^2} \\ &= 12\sqrt{218}. \end{aligned}$

Since $218 = 2 \cdot 109$ is squarefree, $m + n = 12 + 218 = 230.$

2002 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años