2025 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

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3:00:00

1.

Halle la suma de todas las bases enteras $b \gt 9$ para las que $17_b$ es divisor de $97_b.$

Find the sum of all integer bases $b \gt 9$ for which $17_b$ is a divisor of $97_b.$

Respuesta

Respuesta: 70

Conceptos:base numérica divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

En base $b$ los dos números son $17_b = b + 7$ y $97_b = 9b + 7.$ Necesitamos $b + 7 \mid 9b + 7,$ y como $b + 7$ ciertamente divide a $9(b + 7) = 9b + 63,$ esto equivale a $\begin{gathered} b + 7 \mid (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56. \end{gathered}$

Para $b \gt 9$ tenemos $b + 7 \gt 16,$ así que $b + 7$ debe ser $28$ o $56,$ lo que da $b = 21$ o $b = 49.$ La suma es $21 + 49 = 70.$

In base $b$ the two numbers are $17_b = b + 7$ and $97_b = 9b + 7.$ We need $b + 7 \mid 9b + 7,$ and since $b + 7$ certainly divides $9(b + 7) = 9b + 63,$ this is equivalent to $\begin{gathered} b + 7 \mid (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56. \end{gathered}$

For $b \gt 9$ we have $b + 7 \gt 16,$ so $b + 7$ must be $28$ or $56,$ giving $b = 21$ or $b = 49.$ The sum is $21 + 49 = 70.$

2.

En $\triangle ABC$ los puntos $A,$ $D,$ $E,$ y $B$ están en ese orden sobre el lado $\overline{AB}$ con $AD = 4,$ $DE = 16,$ y $EB = 8.$ Los puntos $A,$ $F,$ $G,$ y $C$ están en ese orden sobre el lado $\overline{AC}$ con $AF = 13,$ $FG = 52,$ y $GC = 26.$ Sea $M$ la reflexión de $D$ respecto a $F,$ y sea $N$ la reflexión de $G$ respecto a $E.$ El cuadrilátero $DEGF$ tiene área $288.$ Halle el área del heptágono $AFNBCEM.$

On $\triangle ABC$ points $A,$ $D,$ $E,$ and $B$ lie in that order on side $\overline{AB}$ with $AD = 4,$ $DE = 16,$ and $EB = 8.$ Points $A,$ $F,$ $G,$ and $C$ lie in that order on side $\overline{AC}$ with $AF = 13,$ $FG = 52,$ and $GC = 26.$ Let $M$ be the reflection of $D$ through $F,$ and let $N$ be the reflection of $G$ through $E.$ Quadrilateral $DEGF$ has area $288.$ Find the area of heptagon $AFNBCEM.$

Respuesta

Respuesta: 588

Conceptos:razón de áreas fórmula del cordón vector

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

Aquí $AB = 4 + 16 + 8 = 28$ y $AC = 13 + 52 + 26 = 91,$ así que $D$ y $F$ están a $\frac{1}{7}$ del camino desde $A$ sobre sus lados, mientras que $E$ y $G$ están a $\frac{5}{7}$ del camino. Los triángulos que comparten el ángulo $A$ tienen áreas proporcionales a los productos de los lados adyacentes, así que $[ADF] = \frac{1}{49}[ABC]$ y $[AEG] = \frac{25}{49}[ABC].$ Por lo tanto $\begin{aligned} [DEGF] &= [AEG] - [ADF] \\ &= \frac{24}{49}[ABC] = 288, \end{aligned}$ lo que da $[ABC] = 588.$

Ahora sea $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ y $\mathbf{c} = \overrightarrow{AC},$ de modo que $D = \frac{1}{7}\mathbf{b},$ $E = \frac{5}{7}\mathbf{b},$ $F = \frac{1}{7}\mathbf{c},$ $G = \frac{5}{7}\mathbf{c},$ y las reflexiones son $M = 2F - D = \frac{1}{7}(2\mathbf{c} - \mathbf{b})$ y $N = 2E - G = \frac{1}{7}(10\mathbf{b} - 5\mathbf{c}).$ La fórmula del cordón de zapato para $AFNBCEM$ suma los productos cruzados de vértices consecutivos: los dos términos en $A$ se anulan, y $\begin{aligned} F \times N &= -\tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ N \times B &= \tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ B \times C &= \mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ C \times E &= -\tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ E \times M &= \tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}. \end{aligned}$

Todo se cancela excepto el único término $\mathbf{b} \times \mathbf{c},$ así que el área del heptágono es $\frac{1}{2}\left|\mathbf{b} \times \mathbf{c}\right| = [ABC] = 588.$

Here $AB = 4 + 16 + 8 = 28$ and $AC = 13 + 52 + 26 = 91,$ so $D$ and $F$ lie $\frac{1}{7}$ of the way from $A$ along their sides while $E$ and $G$ lie $\frac{5}{7}$ of the way. Triangles sharing angle $A$ have areas proportional to the products of the adjacent sides, so $[ADF] = \frac{1}{49}[ABC]$ and $[AEG] = \frac{25}{49}[ABC].$ Therefore $\begin{aligned} [DEGF] &= [AEG] - [ADF] \\ &= \frac{24}{49}[ABC] = 288, \end{aligned}$ which gives $[ABC] = 588.$

Now set $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ and $\mathbf{c} = \overrightarrow{AC},$ so that $D = \frac{1}{7}\mathbf{b},$ $E = \frac{5}{7}\mathbf{b},$ $F = \frac{1}{7}\mathbf{c},$ $G = \frac{5}{7}\mathbf{c},$ and the reflections are $M = 2F - D = \frac{1}{7}(2\mathbf{c} - \mathbf{b})$ and $N = 2E - G = \frac{1}{7}(10\mathbf{b} - 5\mathbf{c}).$ The shoelace formula for $AFNBCEM$ sums cross products of consecutive vertices: the two terms at $A$ vanish, and $\begin{aligned} F \times N &= -\tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ N \times B &= \tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ B \times C &= \mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ C \times E &= -\tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ E \times M &= \tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}. \end{aligned}$

Everything cancels except the single term $\mathbf{b} \times \mathbf{c},$ so the heptagon's area is $\frac{1}{2}\left|\mathbf{b} \times \mathbf{c}\right| = [ABC] = 588.$

3.

Los $9$ integrantes de un equipo de béisbol fueron a una heladería después de su partido. Cada jugador tomó un cono de una bola de helado de chocolate, vainilla o fresa. Al menos un jugador eligió cada sabor, y el número de jugadores que eligió chocolate fue mayor que el número de jugadores que eligió vainilla, que a su vez fue mayor que el número de jugadores que eligió fresa. Sea $N$ el número de asignaciones distintas de sabores a los jugadores que cumplen estas condiciones. Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

The $9$ members of a baseball team went to an ice-cream parlor after their game. Each player had a single scoop cone of chocolate, vanilla, or strawberry ice cream. At least one player chose each flavor, and the number of players who chose chocolate was greater than the number of players who chose vanilla, which was greater than the number of players who chose strawberry. Let $N$ be the number of different assignments of flavors to players that meet these conditions. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 16

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Sean $c \gt v \gt s \ge 1$ las cantidades de jugadores que eligen chocolate, vainilla y fresa, con $c + v + s = 9.$ Al revisar los valores pequeños de $s$ se ve que las únicas posibilidades son $(6, 2, 1),$ $(5, 3, 1),$ y $(4, 3, 2).$

Como los jugadores son distintos, cada terna de cantidades aporta un coeficiente multinomial: $\begin{aligned} \frac{9!}{6!\,2!\,1!} &= 252, \\ \frac{9!}{5!\,3!\,1!} &= 504, \\ \frac{9!}{4!\,3!\,2!} &= 1260. \end{aligned}$ Así $N = 252 + 504 + 1260 = 2016,$ y el residuo módulo $1000$ es $16.$

Let $c \gt v \gt s \ge 1$ be the numbers of players choosing chocolate, vanilla, and strawberry, with $c + v + s = 9.$ Checking small values of $s$ shows the only possibilities are $(6, 2, 1),$ $(5, 3, 1),$ and $(4, 3, 2).$

Since the players are distinct, each triple of counts contributes a multinomial coefficient: $\begin{aligned} \frac{9!}{6!\,2!\,1!} &= 252, \\ \frac{9!}{5!\,3!\,1!} &= 504, \\ \frac{9!}{4!\,3!\,2!} &= 1260. \end{aligned}$ Thus $N = 252 + 504 + 1260 = 2016,$ and the remainder modulo $1000$ is $16.$

4.

Halle el número de pares ordenados $(x, y),$ donde tanto $x$ como $y$ son enteros entre $-100$ y $100,$ inclusive, tales que $12x^2 - xy - 6y^2 = 0.$

Find the number of ordered pairs $(x, y),$ where both $x$ and $y$ are integers between $-100$ and $100,$ inclusive, such that $12x^2 - xy - 6y^2 = 0.$

Respuesta

Respuesta: 117

Conceptos:Ecuación diofántica factorización conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

La ecuación se factoriza como $\begin{gathered} 12x^2 - xy - 6y^2 \\ = (3x + 2y)(4x - 3y) \\ = 0, \end{gathered}$ así que toda solución cumple $4x = 3y$ o $3x = -2y.$

Las soluciones enteras de $4x = 3y$ son $(x, y) = (3t, 4t);$ la restricción $|4t| \le 100$ da $-25 \le t \le 25,$ es decir $51$ pares. Las soluciones enteras de $3x = -2y$ son $(x, y) = (2t, -3t);$ la restricción $|3t| \le 100$ da $-33 \le t \le 33,$ es decir $67$ pares. Las familias solo coinciden en $(0, 0),$ así que el conteo es $51 + 67 - 1 = 117.$

The equation factors as $\begin{gathered} 12x^2 - xy - 6y^2 \\ = (3x + 2y)(4x - 3y) \\ = 0, \end{gathered}$ so every solution has $4x = 3y$ or $3x = -2y.$

Integer solutions of $4x = 3y$ are $(x, y) = (3t, 4t);$ the constraint $|4t| \le 100$ gives $-25 \le t \le 25,$ or $51$ pairs. Integer solutions of $3x = -2y$ are $(x, y) = (2t, -3t);$ the constraint $|3t| \le 100$ gives $-33 \le t \le 33,$ or $67$ pairs. The families overlap only at $(0, 0),$ so the count is $51 + 67 - 1 = 117.$

5.

Hay $8! = 40320$ enteros positivos de ocho dígitos que usan cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactamente una vez. Sea $N$ el número de estos enteros que son divisibles entre $22.$ Halle la diferencia entre $N$ y $2025.$

There are $8! = 40320$ eight-digit positive integers that use each of the digits $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactly once. Let $N$ be the number of these integers that are divisible by $22.$ Find the difference between $N$ and $2025.$

Respuesta

Respuesta: 279

Conceptos:divisibilidad permutaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Los dígitos suman $36.$ La divisibilidad entre $11$ exige que la suma alternada de los dígitos sea múltiplo de $11,$ así que si los cuatro dígitos en posiciones impares suman $a,$ entonces $a - (36 - a) = 2a - 36$ debe ser múltiplo de $11.$ Como $10 \le a \le 26,$ la única posibilidad es $a = 18:$ cada bloque de cuatro posiciones tiene suma de dígitos $18.$ Los subconjuntos de cuatro elementos de $\{1, \ldots, 8\}$ con suma $18$ son $\begin{gathered} \{1,2,7,8\},\ \{1,3,6,8\},\ \\ \{1,4,5,8\},\ \{1,4,6,7\},\ \\ \{2,3,5,8\},\ \{2,3,6,7\},\ \\ \{2,4,5,7\},\ \{3,4,5,6\}, \end{gathered}$ ocho en total, y vienen en pares complementarios.

Elija cuál de los $8$ subconjuntos ocupa las posiciones pares (que incluyen las unidades); el complemento llena las posiciones impares. Si ese subconjunto contiene $k$ de los dígitos pares, entonces el dígito de las unidades se puede elegir de $k$ formas, el resto de las posiciones pares de $3!$ formas, y las posiciones impares de $4!$ formas, para $144k$ números. Los subconjuntos complementarios tienen valores de $k$ que suman $4,$ así que sobre las $8$ elecciones $\sum k = 16.$ Por lo tanto $N = 144 \cdot 16 = 2304,$ y $N - 2025 = 279.$

The digits sum to $36.$ Divisibility by $11$ requires the alternating sum of digits to be a multiple of $11,$ so if the four digits in odd positions sum to $a,$ then $a - (36 - a) = 2a - 36$ must be a multiple of $11.$ Since $10 \le a \le 26,$ the only possibility is $a = 18:$ each block of four positions carries digit sum $18.$ The four-element subsets of $\{1, \ldots, 8\}$ with sum $18$ are $\begin{gathered} \{1,2,7,8\},\ \{1,3,6,8\},\ \\ \{1,4,5,8\},\ \{1,4,6,7\},\ \\ \{2,3,5,8\},\ \{2,3,6,7\},\ \\ \{2,4,5,7\},\ \{3,4,5,6\}, \end{gathered}$ eight in all, and they come in complementary pairs.

Choose which of the $8$ subsets occupies the even positions (which include the units place); the complement fills the odd positions. If that subset contains $k$ of the even digits, then the units digit can be chosen in $k$ ways, the rest of the even positions in $3!$ ways, and the odd positions in $4!$ ways, for $144k$ numbers. Complementary subsets have $k$ -values summing to $4,$ so over all $8$ choices $\sum k = 16.$ Hence $N = 144 \cdot 16 = 2304,$ and $N - 2025 = 279.$

6.

Un trapecio isósceles tiene una circunferencia inscrita tangente a cada uno de sus cuatro lados. El radio de la circunferencia es $3,$ y el área del trapecio es $72.$ Sean $r$ y $s$ las longitudes de los lados paralelos del trapecio, con $r \ne s.$ Halle $r^2 + s^2.$

An isosceles trapezoid has an inscribed circle tangent to each of its four sides. The radius of the circle is $3,$ and the area of the trapezoid is $72.$ Let the parallel sides of the trapezoid have lengths $r$ and $s,$ with $r \ne s.$ Find $r^2 + s^2.$

Respuesta

Respuesta: 504

Conceptos:trapecio circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

La circunferencia es tangente a ambos lados paralelos, así que la altura del trapecio es $2 \cdot 3 = 6.$ A partir del área, $\frac{r + s}{2} \cdot 6 = 72,$ así que $r + s = 24.$ Por el teorema de Pitot los lados no paralelos también suman $24,$ y como el trapecio es isósceles cada uno mide $12.$

Al trazar una perpendicular desde un extremo de la base más corta, el lado no paralelo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $6$ y $\frac{|r - s|}{2}:$ $144 = 36 + \left(\frac{r - s}{2}\right)^2,$ así que $(r - s)^2 = 432.$ Por lo tanto $r^2 + s^2 = \frac{(r+s)^2 + (r-s)^2}{2}$ $= \frac{576 + 432}{2} = 504.$

The circle is tangent to both parallel sides, so the height of the trapezoid is $2 \cdot 3 = 6.$ From the area, $\frac{r + s}{2} \cdot 6 = 72,$ so $r + s = 24.$ By the Pitot theorem the legs together also sum to $24,$ and since the trapezoid is isosceles each leg is $12.$

Dropping a perpendicular from an endpoint of the shorter base, the leg is the hypotenuse of a right triangle with legs $6$ and $\frac{|r - s|}{2}:$ $144 = 36 + \left(\frac{r - s}{2}\right)^2,$ so $(r - s)^2 = 432.$ Therefore $r^2 + s^2 = \frac{(r+s)^2 + (r-s)^2}{2}$ $= \frac{576 + 432}{2} = 504.$

7.

Las doce letras $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ y $L$ se agrupan al azar en seis pares de letras. Las dos letras de cada par se colocan una junto a la otra en orden alfabético para formar seis palabras de dos letras, y luego esas seis palabras se ordenan alfabéticamente. Por ejemplo, un resultado posible es $AB,$ $CJ,$ $DG,$ $EK,$ $FL,$ $HI.$ La probabilidad de que la última palabra de la lista contenga $G$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

The twelve letters $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ and $L$ are randomly grouped into six pairs of letters. The two letters in each pair are placed next to each other in alphabetical order to form six two-letter words, and then those six words are listed alphabetically. For example, a possible result is $AB,$ $CJ,$ $DG,$ $EK,$ $FL,$ $HI.$ The probability that the last word listed contains $G$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 821

Conceptos:probabilidad básica arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Hay $11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 10395$ formas de emparejar las letras. Cada palabra empieza con la letra menor de su par, así que la última palabra en orden alfabético es el par cuya letra menor es la mayor.

Caso 1: $G$ es la letra menor de la última palabra. Entonces $G$ se empareja con una de $H, I, J, K, L$ ( $5$ formas), y ningún par puede formarse entre dos de las cuatro letras tardías restantes (tal par empezaría con una letra posterior a $G$ ). Esas cuatro letras deben tomar compañeras distintas de $\{A, \ldots, F\},$ de $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ formas, y las dos letras tempranas sobrantes se emparejan entre sí. Eso da $5 \cdot 360 = 1800$ emparejamientos. Caso 2: $G$ es la letra mayor, emparejada con alguna $x$ anterior a $G.$ Entonces ninguna de $H, \ldots, L$ puede emparejarse entre sí, así que las cinco toman compañeras entre las otras cinco letras tempranas; las seis letras menores son entonces exactamente $A$ a $F,$ y la mayor es $F.$ Así la última palabra es $FG,$ y $H, \ldots, L$ se emparejan con $A, \ldots, E$ de $5! = 120$ formas.

La probabilidad es $\frac{1800 + 120}{10395} = \frac{1920}{10395} = \frac{128}{693},$ así que $m + n = 128 + 693 = 821.$

There are $11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 10395$ ways to pair the letters. Each word begins with the smaller letter of its pair, so the last word alphabetically is the pair whose smaller letter is largest.

Case 1: $G$ is the smaller letter of the last word. Then $G$ pairs with one of $H, I, J, K, L$ ( $5$ ways), and no two of the remaining four late letters may pair together (such a pair would start with a letter after $G$ ). Those four letters must take distinct partners from $\{A, \ldots, F\},$ in $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ ways, and the two leftover early letters pair with each other. That gives $5 \cdot 360 = 1800$ pairings. Case 2: $G$ is the larger letter, paired with some $x$ before $G.$ Then none of $H, \ldots, L$ may pair together, so all five take partners among the other five early letters; the six smaller letters are then exactly $A$ through $F,$ and the largest is $F.$ So the last word is $FG,$ and $H, \ldots, L$ match with $A, \ldots, E$ in $5! = 120$ ways.

The probability is $\frac{1800 + 120}{10395} = \frac{1920}{10395} = \frac{128}{693},$ so $m + n = 128 + 693 = 821.$

8.

Sea $k$ un número real tal que el sistema $|25 + 20i - z| = 5$ $|z - 4 - k| = |z - 3i - k|$ tiene exactamente una solución compleja $z.$ La suma de todos los valores posibles de $k$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$ Aquí $i = \sqrt{-1}.$

Let $k$ be a real number such that the system $|25 + 20i - z| = 5$ $|z - 4 - k| = |z - 3i - k|$ has exactly one complex solution $z.$ The sum of all possible values of $k$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$ Here $i = \sqrt{-1}.$

Respuesta

Respuesta: 77

Conceptos:número complejo mediatriz recta tangente

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

La primera ecuación dice que $z$ está en la circunferencia de radio $5$ centrada en $(25, 20).$ La segunda dice que $z$ equidista de $P_1 = (k + 4, 0)$ y $P_2 = (k, 3),$ es decir, está en la mediatriz de $\overline{P_1 P_2}.$ El sistema tiene exactamente una solución precisamente cuando esta recta es tangente a la circunferencia.

El punto medio es $\left(k + 2, \frac{3}{2}\right)$ y $\overline{P_1 P_2}$ tiene pendiente $-\frac{3}{4},$ así que la mediatriz tiene pendiente $\frac{4}{3}:$ en forma estándar $8x - 6y - (8k + 7) = 0.$ La tangencia exige $\begin{gathered} \frac{|8 \cdot 25 - 6 \cdot 20 - 8k - 7|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} \\ = \frac{|73 - 8k|}{10} \\ = 5, \end{gathered}$ así que $8k = 73 \pm 50,$ lo que da $k = \frac{123}{8}$ o $k = \frac{23}{8}.$

La suma es $\frac{146}{8} = \frac{73}{4},$ así que $m + n = 73 + 4 = 77.$

The first equation says $z$ lies on the circle of radius $5$ centered at $(25, 20).$ The second says $z$ is equidistant from $P_1 = (k + 4, 0)$ and $P_2 = (k, 3),$ i.e. it lies on the perpendicular bisector of $\overline{P_1 P_2}.$ The system has exactly one solution precisely when this line is tangent to the circle.

The midpoint is $\left(k + 2, \frac{3}{2}\right)$ and $\overline{P_1 P_2}$ has slope $-\frac{3}{4},$ so the bisector has slope $\frac{4}{3}:$ in standard form $8x - 6y - (8k + 7) = 0.$ Tangency requires $\begin{gathered} \frac{|8 \cdot 25 - 6 \cdot 20 - 8k - 7|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} \\ = \frac{|73 - 8k|}{10} \\ = 5, \end{gathered}$ so $8k = 73 \pm 50,$ giving $k = \frac{123}{8}$ or $k = \frac{23}{8}.$

The sum is $\frac{146}{8} = \frac{73}{4},$ so $m + n = 73 + 4 = 77.$

9.

La parábola de ecuación $y = x^2 - 4$ se rota $60^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen. El único punto en el cuarto cuadrante donde la parábola original y su imagen se intersecan tiene coordenada $y$ igual a $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $a$ y $c$ son primos entre sí. Halle $a + b + c.$

The parabola with equation $y = x^2 - 4$ is rotated $60^\circ$ counterclockwise around the origin. The unique point in the fourth quadrant where the original parabola and its image intersect has $y$ -coordinate $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $a$ and $c$ are relatively prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Respuesta: 62

Conceptos:parábola transformación simetría

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Un punto $P$ está en la parábola imagen exactamente cuando su rotación en $-60^\circ,$ a saber $Q = \small\left(\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}y,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2}\right),$ está en la parábola original. Así que necesitamos $P$ y $Q$ ambos sobre $y = x^2 - 4.$ La parábola es simétrica bajo $x \mapsto -x,$ así que buscamos $P = (x, y)$ cuya imagen rotada sea el punto reflejado $Q = (-x, y).$

Igualar las coordenadas $y$ da $-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2} = y,$ es decir $y = -\sqrt{3}\,x,$ y entonces la coordenada $x$ se cumple automáticamente: $\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}x) = -x.$ Sustituir $y = -\sqrt{3}\,x$ en $y = x^2 - 4$ da $x^2 + \sqrt{3}\,x - 4 = 0,$ cuya raíz positiva es $x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{2}.$ Entonces $y = -\sqrt{3}\,x = \frac{3 - \sqrt{57}}{2} \lt 0,$ así que este punto está en el cuarto cuadrante, sobre ambas curvas.

El problema garantiza que la intersección en el cuarto cuadrante es única, así que su coordenada $y$ es $\frac{3 - \sqrt{57}}{2},$ lo que da $a + b + c = 3 + 57 + 2 = 62.$

A point $P$ lies on the image parabola exactly when its rotation by $-60^\circ,$ namely $Q = \small\left(\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}y,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2}\right),$ lies on the original parabola. So we need $P$ and $Q$ both on $y = x^2 - 4.$ The parabola is symmetric in $x \mapsto -x,$ so we look for $P = (x, y)$ whose rotated image is the mirror point $Q = (-x, y).$

Matching $y$ -coordinates gives $-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2} = y,$ i.e. $y = -\sqrt{3}\,x,$ and then the $x$ -coordinate works automatically: $\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}x) = -x.$ Substituting $y = -\sqrt{3}\,x$ into $y = x^2 - 4$ gives $x^2 + \sqrt{3}\,x - 4 = 0,$ whose positive root is $x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{2}.$ Then $y = -\sqrt{3}\,x = \frac{3 - \sqrt{57}}{2} \lt 0,$ so this point is in the fourth quadrant, on both curves.

The problem guarantees the fourth-quadrant intersection is unique, so its $y$ -coordinate is $\frac{3 - \sqrt{57}}{2},$ giving $a + b + c = 3 + 57 + 2 = 62.$

10.

Las $27$ celdas de una cuadrícula $3 \times 9$ se llenan usando los números $1$ a $9$ de modo que cada fila contenga $9$ números distintos, y que cada uno de los tres bloques $3 \times 3$ resaltados con contorno grueso en el ejemplo de abajo contenga $9$ números distintos, como en las primeras tres filas de un Sudoku.

El número de formas distintas de llenar tal cuadrícula se puede escribir como $p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdot s^d,$ donde $p,$ $q,$ $r,$ y $s$ son números primos distintos y $a,$ $b,$ $c,$ $d$ son enteros positivos. Halle $p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d.$

The $27$ cells of a $3 \times 9$ grid are filled in using the numbers $1$ through $9$ so that each row contains $9$ different numbers, and each of the three $3 \times 3$ blocks heavily outlined in the example below contains $9$ different numbers, as in the first three rows of a Sudoku puzzle.

The number of different ways to fill such a grid can be written as $p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdot s^d,$ where $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ are distinct prime numbers and $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are positive integers. Find $p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d.$

Respuesta

Respuesta: 81

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación factorización en primos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Llene el bloque izquierdo arbitrariamente: $9!$ formas. Sean $R_1, R_2, R_3$ los conjuntos de tres dígitos de sus filas. En el bloque central, la fila $i$ debe evitar $R_i$ (esos dígitos ya aparecen en la fila $i$ ), y las tres filas del bloque deben partir $\{1, \ldots, 9\}.$ Digamos que su fila superior toma $j$ dígitos de $R_2$ y $3 - j$ de $R_3.$ Equilibrar las tres filas obliga entonces a la fila central a tomar $3 - j$ dígitos de $R_1$ junto con los $j$ dígitos restantes de $R_3,$ y la fila inferior queda determinada. El número de elecciones de contenido es $\begin{gathered} \sum_{j=0}^{3} \binom{3}{j}\binom{3}{3-j}^2 \\ = 1 + 27 + 27 + 1 \\ = 56. \end{gathered}$

El contenido de las filas del bloque derecho queda entonces forzado (la fila $i$ toma lo que falte en la fila $i$ ), y cada una de las seis filas de los bloques central y derecho se puede ordenar internamente de $3!$ formas. El total es $\begin{gathered} 9! \cdot 56 \cdot 6^6 \\ = (2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7)(2^3 \cdot 7)(2^6 \cdot 3^6) \\ = 2^{16} \cdot 3^{10} \cdot 5^1 \cdot 7^2. \end{gathered}$

Por lo tanto $p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d$ $= 2 \cdot 16 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1$ $+ 7 \cdot 2 = 81.$

Fill the left block arbitrarily: $9!$ ways. Let $R_1, R_2, R_3$ be the sets of three digits in its rows. In the middle block, row $i$ must avoid $R_i$ (those digits already appear in row $i$ ), and the block's three rows must partition $\{1, \ldots, 9\}.$ Say its top row takes $j$ digits from $R_2$ and $3 - j$ from $R_3.$ Balancing the three rows then forces the middle row to take $3 - j$ digits from $R_1$ together with all $j$ remaining digits of $R_3,$ and the bottom row is determined. The number of content choices is $\begin{gathered} \sum_{j=0}^{3} \binom{3}{j}\binom{3}{3-j}^2 \\ = 1 + 27 + 27 + 1 \\ = 56. \end{gathered}$

The right block's row contents are then forced (row $i$ takes whatever is missing from row $i$ ), and each of the six rows of the middle and right blocks can be ordered internally in $3!$ ways. The total is $\begin{gathered} 9! \cdot 56 \cdot 6^6 \\ = (2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7)(2^3 \cdot 7)(2^6 \cdot 3^6) \\ = 2^{16} \cdot 3^{10} \cdot 5^1 \cdot 7^2. \end{gathered}$

Therefore $p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d$ $= 2 \cdot 16 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1$ $+ 7 \cdot 2 = 81.$

11.

Una función lineal a trozos se define por $f(x) = \begin{cases} x & \text{if } -1 \le x \lt 1 \\ 2 - x & \text{if } 1 \le x \lt 3 \end{cases}$ y $f(x + 4) = f(x)$ para todo número real $x.$ La gráfica de $f(x)$ tiene el patrón de diente de sierra que se muestra abajo.

La parábola $x = 34y^2$ interseca la gráfica de $f(x)$ en un número finito de puntos. La suma de las coordenadas $y$ de todos estos puntos de intersección se puede expresar en la forma $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos tales que $a,$ $b,$ $d$ tienen máximo común divisor igual a $1,$ y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $a + b + c + d.$

A piecewise linear function is defined by $f(x) = \begin{cases} x & \text{if } -1 \le x \lt 1 \\ 2 - x & \text{if } 1 \le x \lt 3 \end{cases}$ and $f(x + 4) = f(x)$ for all real numbers $x.$ The graph of $f(x)$ has the sawtooth pattern depicted below.

The parabola $x = 34y^2$ intersects the graph of $f(x)$ at finitely many points. The sum of the $y$ -coordinates of all these intersection points can be expressed in the form $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers such that $a,$ $b,$ $d$ have greatest common divisor equal to $1,$ and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Respuesta: 259

Conceptos:función cuadrática Fórmulas de Vieta análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Como $f$ solo toma valores en $[-1, 1],$ toda intersección cumple $-1 \le y \le 1$ y por lo tanto $x = 34y^2 \in [0, 34].$ En los trozos ascendentes, $x \in [4k - 1, 4k + 1)$ con $f(x) = x - 4k,$ así que $y = f(34y^2)$ se convierte en $34y^2 - y - 4k = 0;$ en los trozos descendentes, $x \in [4k + 1, 4k + 3)$ con $f(x) = 4k + 2 - x,$ lo que da $34y^2 + y - (4k + 2) = 0.$ En cada caso una raíz es válida exactamente cuando está en $[-1, 1)$ (ascendente) o $(-1, 1]$ (descendente), pues entonces $x = 34y^2$ cae automáticamente en el intervalo correcto.

Para los trozos ascendentes las raíces son $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 544k}}{68},$ y ambas son válidas exactamente cuando $\sqrt{1 + 544k} \le 67,$ es decir para $k = 0, 1, \ldots, 8:$ nueve cuadráticas, cada una aportando suma de raíces $\frac{1}{34}$ por Vieta. Para los trozos descendentes las raíces son $\frac{-1 \pm \sqrt{544k + 273}}{68}.$ La raíz con el signo menos exige $\sqrt{544k + 273} \lt 67,$ lo que se cumple para $k = 0, \ldots, 7;$ esas ocho cuadráticas aportan cada una $-\frac{1}{34}.$ Para $k = 8$ solo la raíz positiva $\frac{-1 + \sqrt{4625}}{68} = \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68}$ es válida.

El total es $\begin{aligned} &\frac{9}{34} - \frac{8}{34} + \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68} \\ &\quad = \frac{1 + 5\sqrt{185}}{68}, \end{aligned}$ y $185 = 5 \cdot 37$ es libre de cuadrados, así que $a + b + c + d$ $= 1 + 5 + 185 + 68$ $= 259.$

Since $f$ only takes values in $[-1, 1],$ any intersection has $-1 \le y \le 1$ and hence $x = 34y^2 \in [0, 34].$ On the rising pieces, $x \in [4k - 1, 4k + 1)$ with $f(x) = x - 4k,$ so $y = f(34y^2)$ becomes $34y^2 - y - 4k = 0;$ on the falling pieces, $x \in [4k + 1, 4k + 3)$ with $f(x) = 4k + 2 - x,$ giving $34y^2 + y - (4k + 2) = 0.$ In each case a root is valid exactly when it lies in $[-1, 1)$ (rising) or $(-1, 1]$ (falling), since then $x = 34y^2$ automatically falls in the correct interval.

For the rising pieces the roots are $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 544k}}{68},$ and both are valid exactly when $\sqrt{1 + 544k} \le 67,$ i.e. for $k = 0, 1, \ldots, 8:$ nine quadratics, each contributing root sum $\frac{1}{34}$ by Vieta. For the falling pieces the roots are $\frac{-1 \pm \sqrt{544k + 273}}{68}.$ The root with the minus sign requires $\sqrt{544k + 273} \lt 67,$ which holds for $k = 0, \ldots, 7;$ those eight quadratics each contribute $-\frac{1}{34}.$ For $k = 8$ only the positive root $\frac{-1 + \sqrt{4625}}{68} = \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68}$ is valid.

The total is $\begin{aligned} &\frac{9}{34} - \frac{8}{34} + \frac{-1 + 5\sqrt{185}}{68} \\ &\quad = \frac{1 + 5\sqrt{185}}{68}, \end{aligned}$ and $185 = 5 \cdot 37$ is squarefree, so $a + b + c + d$ $= 1 + 5 + 185 + 68$ $= 259.$

12.

El conjunto de puntos del espacio de coordenadas $3$ -dimensional que están en el plano $x + y + z = 75$ cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades $x - yz \lt y - zx \lt z - xy$ forma tres regiones convexas disjuntas. Exactamente una de esas regiones tiene área finita. El área de esta región finita se puede expresar en la forma $a\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $a + b.$

The set of points in $3$ -dimensional coordinate space that lie in the plane $x + y + z = 75$ whose coordinates satisfy the inequalities $x - yz \lt y - zx \lt z - xy$ forms three disjoint convex regions. Exactly one of those regions has finite area. The area of this finite region can be expressed in the form $a\sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b.$

Respuesta

Respuesta: 510

Conceptos:desigualdad factorización área del triángulo vector

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como $x - yz - (y - zx)$ $= (x - y) + z(x - y)$ $= (x - y)(1 + z),$ y análogamente $y - zx - (z - xy)$ $= (y - z)(1 + x),$ las condiciones son $(x - y)(1 + z) \lt 0$ y $(y - z)(1 + x) \lt 0.$ Cada condición ofrece dos patrones de signos, dando cuatro combinaciones. La combinación $x \gt y,$ $z \lt -1,$ $y \gt z,$ $x \lt -1$ es imposible sobre el plano: $x, z \lt -1$ obliga a $y \gt 77,$ lo que contradice $x \gt y.$ Dos de las combinaciones restantes permiten que una coordenada se vaya al infinito, produciendo las dos regiones no acotadas.

La región acotada es $x \lt y,$ $y \lt z,$ $x \gt -1$ (la cuarta restricción $z \gt -1$ es entonces automática): el conjunto $-1 \lt x \lt y \lt z$ sobre el plano. Su clausura es el triángulo cuyos vértices provienen de intersecar las rectas frontera de dos en dos: $x = -1, x = y$ da $(-1, -1, 77);$ $x = -1, y = z$ da $(-1, 38, 38);$ y $x = y = z$ da $(25, 25, 25).$

Con $A = (-1, -1, 77),$ los vectores de los lados son $B - A = (0, 39, -39)$ y $C - A = (26, 26, -52),$ cuyo producto cruz es $-1014\,(1, 1, 1),$ de longitud $1014\sqrt{3}.$ El área es $\frac{1014\sqrt{3}}{2} = 507\sqrt{3},$ así que $a + b = 507 + 3 = 510.$

Since $x - yz - (y - zx)$ $= (x - y) + z(x - y)$ $= (x - y)(1 + z),$ and similarly $y - zx - (z - xy)$ $= (y - z)(1 + x),$ the conditions are $(x - y)(1 + z) \lt 0$ and $(y - z)(1 + x) \lt 0.$ Each condition offers two sign patterns, giving four combinations. The combination $x \gt y,$ $z \lt -1,$ $y \gt z,$ $x \lt -1$ is impossible on the plane: $x, z \lt -1$ forces $y \gt 77,$ contradicting $x \gt y.$ Two of the remaining combinations allow a coordinate to run off to infinity, producing the two unbounded regions.

The bounded region is $x \lt y,$ $y \lt z,$ $x \gt -1$ (the fourth constraint $z \gt -1$ is then automatic): the set $-1 \lt x \lt y \lt z$ on the plane. Its closure is the triangle whose vertices come from intersecting the boundary lines pairwise: $x = -1, x = y$ gives $(-1, -1, 77);$ $x = -1, y = z$ gives $(-1, 38, 38);$ and $x = y = z$ gives $(25, 25, 25).$

With $A = (-1, -1, 77),$ the edge vectors are $B - A = (0, 39, -39)$ and $C - A = (26, 26, -52),$ whose cross product is $-1014\,(1, 1, 1),$ of length $1014\sqrt{3}.$ The area is $\frac{1014\sqrt{3}}{2} = 507\sqrt{3},$ so $a + b = 507 + 3 = 510.$

13.

Alex divide un disco en cuatro cuadrantes con dos diámetros perpendiculares que se cortan en el centro del disco. Traza $25$ segmentos de recta más a través del disco, dibujando cada segmento al seleccionar al azar dos puntos del perímetro del disco en cuadrantes diferentes y conectar esos dos puntos. Halle el número esperado de regiones en que estos $27$ segmentos de recta dividen el disco.

Alex divides a disk into four quadrants with two perpendicular diameters intersecting at the center of the disk. He draws $25$ more line segments through the disk, drawing each segment by selecting two points at random on the perimeter of the disk in different quadrants and connecting these two points. Find the expected number of regions into which these $27$ line segments divide the disk.

Respuesta

Respuesta: 204

Conceptos:valor esperado conteo de regiones análisis por casos

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Añadiendo las cuerdas una por una, cada nueva cuerda aumenta el número de regiones en $1$ más el número de cuerdas existentes que cruza dentro del disco. Partiendo de una región, el total esperado es $1 + 27 + E,$ donde $E$ es el número esperado de pares que se cruzan en el interior. Los dos diámetros se cruzan una vez. Los extremos de una cuerda aleatoria caen en uno de los $6$ pares de cuadrantes, cada uno con probabilidad $\frac{1}{6}.$ La cuerda cruza el diámetro vertical exactamente cuando sus extremos tienen signos de $x$ opuestos, lo que ocurre en $4$ de los $6$ pares, así que corta cada diámetro con probabilidad $\frac{2}{3}$ y ambos diámetros juntos $\frac{4}{3}$ veces en promedio: las $25$ cuerdas aportan $\frac{100}{3}$ cruces esperados con los diámetros.

Para dos cuerdas aleatorias, condicionemos sobre sus pares de cuadrantes ( $36$ combinaciones ordenadas igualmente probables). Si una usa los cuadrantes $1, 3$ y la otra $2, 4,$ los extremos siempre se alternan, así que siempre se cruzan: $2$ combinaciones. Si los dos pares son adyacentes y disjuntos, como $\{1, 2\}$ y $\{3, 4\},$ las cuerdas nunca se cruzan: $4$ combinaciones. En cada una de las otras $30$ combinaciones, si los extremos se alternan alrededor del círculo se reduce a comparar puntos uniformes independientes dentro de cuadrantes compartidos, por ejemplo, una cuerda $\{1,3\}$ y una cuerda $\{1,2\}$ se cruzan exactamente cuando los dos puntos del cuadrante $1$ aparecen en un orden específico, y la probabilidad es $\frac{1}{2}$ por simetría. Así que dos cuerdas aleatorias se cruzan con probabilidad $\frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 30 \cdot \frac{1}{2}}{36} = \frac{17}{36}.$

Los $\binom{25}{2} = 300$ pares de cuerdas aportan $300 \cdot \frac{17}{36} = \frac{425}{3}$ cruces esperados, así que $E = 1 + \frac{100}{3} + \frac{425}{3} = 176$ y el número esperado de regiones es $1 + 27 + 176 = 204.$

Adding chords one at a time, each new chord increases the region count by $1$ plus the number of existing chords it crosses inside the disk. Starting from one region, the expected total is $1 + 27 + E,$ where $E$ is the expected number of interior crossing pairs. The two diameters cross once. A random chord's endpoints land in one of the $6$ quadrant pairs, each with probability $\frac{1}{6}.$ The chord crosses the vertical diameter exactly when its endpoints have opposite $x$ -signs, which happens for $4$ of the $6$ pairs, so it meets each diameter with probability $\frac{2}{3}$ and both diameters together $\frac{4}{3}$ times on average: the $25$ chords contribute $\frac{100}{3}$ expected crossings with the diameters.

For two random chords, condition on their quadrant pairs ( $36$ equally likely ordered combinations). If one uses quadrants $1, 3$ and the other $2, 4,$ the endpoints always alternate, so they always cross: $2$ combinations. If the two pairs are adjacent and disjoint, such as $\{1, 2\}$ and $\{3, 4\},$ the chords never cross: $4$ combinations. In each of the other $30$ combinations, whether the endpoints alternate around the circle reduces to comparing independent uniform points inside shared quadrants — for example, a $\{1,3\}$ chord and a $\{1,2\}$ chord cross exactly when the two quadrant- $1$ points come in one specific order — and the probability is $\frac{1}{2}$ by symmetry. So two random chords cross with probability $\frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 30 \cdot \frac{1}{2}}{36} = \frac{17}{36}.$

The $\binom{25}{2} = 300$ chord pairs contribute $300 \cdot \frac{17}{36} = \frac{425}{3}$ expected crossings, so $E = 1 + \frac{100}{3} + \frac{425}{3} = 176$ and the expected number of regions is $1 + 27 + 176 = 204.$

14.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con $AB = 14,$ $BC = 7,$ $CD = 24,$ $DE = 13,$ $EA = 26,$ y $\angle B = \angle E = 60^\circ.$ Para cada punto $X$ del plano, defina $f(X) = AX + BX + CX$ $+ DX + EX.$ El menor valor posible de $f(X)$ se puede expresar como $m + n\sqrt{p},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n + p.$

Let $ABCDE$ be a convex pentagon with $AB = 14,$ $BC = 7,$ $CD = 24,$ $DE = 13,$ $EA = 26,$ and $\angle B = \angle E = 60^\circ.$ For each point $X$ in the plane, define $f(X) = AX + BX + CX$ $+ DX + EX.$ The least possible value of $f(X)$ can be expressed as $m + n\sqrt{p},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Respuesta: 60

Conceptos:ley de los cosenos cuadrilátero cíclico transformación optimización

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

En el triángulo $ABC,$ la ley de cosenos con $\angle B = 60^\circ$ da $AC^2 = 14^2 + 7^2 - 14 \cdot 7 = 147,$ así que $AC = 7\sqrt{3};$ como $7^2 + 147 = 14^2,$ el ángulo en $C$ es recto y $\angle BAC = 30^\circ.$ Del mismo modo $AD = 13\sqrt{3},$ con un ángulo recto en $D$ y $\angle DAE = 30^\circ.$ En el triángulo $ACD$ con $CD = 24,$ $\begin{aligned} \cos \angle CAD &= \frac{147 + 507 - 576}{2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 13\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{7}, \\ \sin \angle CAD &= \frac{4\sqrt{3}}{7}. \end{aligned}$

Separe $f(X) = (BX + EX)$ $+ (AX + CX + DX) \ge BE + T,$ donde $T$ es el mínimo de $AX + CX + DX.$ Como $\angle BAE = 30^\circ + \angle CAD + 30^\circ,$ obtenemos $\cos \angle BAE = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$ $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}$ $= -\frac{11}{14},$ así que $BE^2 = 14^2 + 26^2$ $+ 2 \cdot 14 \cdot 26 \cdot \frac{11}{14} = 1444$ y $BE = 38.$ Todos los ángulos del triángulo $ACD$ son menores que $120^\circ,$ así que $T$ se alcanza en su punto de Fermat; al construir un triángulo equilátero $ACP$ sobre el lado $AC$ del lado opuesto a $D,$ el argumento estándar de rotación da $T = PD,$ y como $\angle PAD = 60^\circ + \angle CAD$ también tiene coseno $-\frac{11}{14},$ $\begin{gathered} T^2 \\ = 147 + 507 \\ {}+ 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 13\sqrt{3} \cdot \frac{11}{14} \\ = 1083, \\ T = 19\sqrt{3}. \end{gathered}$

Ambas cotas se alcanzan simultáneamente: sea $F$ el punto de Fermat de $ACD,$ de modo que $\angle AFC = \angle AFD = 120^\circ.$ Como $\angle AFC + \angle ABC = 180^\circ,$ el punto $F$ está en la circunferencia circunscrita de $ABC,$ de donde $\angle AFB = \angle ACB = 90^\circ;$ análogamente $F$ está en la circunferencia circunscrita de $AED$ y $\angle AFE = \angle ADE = 90^\circ.$ Así $\angle BFE = 180^\circ,$ de modo que $F$ está en el segmento $BE$ y $f(F) = BE + T = 38 + 19\sqrt{3}.$ La respuesta es $m + n + p = 38 + 19 + 3 = 60.$

In triangle $ABC,$ the law of cosines with $\angle B = 60^\circ$ gives $AC^2 = 14^2 + 7^2 - 14 \cdot 7 = 147,$ so $AC = 7\sqrt{3};$ since $7^2 + 147 = 14^2,$ the angle at $C$ is right and $\angle BAC = 30^\circ.$ Likewise $AD = 13\sqrt{3},$ with a right angle at $D$ and $\angle DAE = 30^\circ.$ In triangle $ACD$ with $CD = 24,$ $\begin{aligned} \cos \angle CAD &= \frac{147 + 507 - 576}{2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 13\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{7}, \\ \sin \angle CAD &= \frac{4\sqrt{3}}{7}. \end{aligned}$

Split $f(X) = (BX + EX)$ $+ (AX + CX + DX) \ge BE + T,$ where $T$ is the minimum of $AX + CX + DX.$ Since $\angle BAE = 30^\circ + \angle CAD + 30^\circ,$ we get $\cos \angle BAE = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$ $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}$ $= -\frac{11}{14},$ so $BE^2 = 14^2 + 26^2$ $+ 2 \cdot 14 \cdot 26 \cdot \frac{11}{14} = 1444$ and $BE = 38.$ All angles of triangle $ACD$ are less than $120^\circ,$ so $T$ is attained at its Fermat point; erecting an equilateral triangle $ACP$ on side $AC$ away from $D,$ the standard rotation argument gives $T = PD,$ and since $\angle PAD = 60^\circ + \angle CAD$ also has cosine $-\frac{11}{14},$ $\begin{gathered} T^2 \\ = 147 + 507 \\ {}+ 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 13\sqrt{3} \cdot \frac{11}{14} \\ = 1083, \\ T = 19\sqrt{3}. \end{gathered}$

Both bounds are tight simultaneously: let $F$ be the Fermat point of $ACD,$ so $\angle AFC = \angle AFD = 120^\circ.$ Since $\angle AFC + \angle ABC = 180^\circ,$ point $F$ lies on the circumcircle of $ABC,$ whence $\angle AFB = \angle ACB = 90^\circ;$ similarly $F$ lies on the circumcircle of $AED$ and $\angle AFE = \angle ADE = 90^\circ.$ Thus $\angle BFE = 180^\circ,$ so $F$ lies on segment $BE$ and $f(F) = BE + T = 38 + 19\sqrt{3}.$ The answer is $m + n + p = 38 + 19 + 3 = 60.$

15.

Sea $N$ el número de ternas ordenadas de enteros positivos $(a, b, c)$ tales que $a, b, c \le 3^6$ y $a^3 + b^3 + c^3$ es múltiplo de $3^7.$ Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ denote the number of ordered triples of positive integers $(a, b, c)$ such that $a, b, c \le 3^6$ and $a^3 + b^3 + c^3$ is a multiple of $3^7.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 735

Conceptos:aritmética modular potencia perfecta conteo recursivo

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Como $(a + 3^6 t)^3 \equiv a^3 \pmod{3^7},$ el cubo de $a$ módulo $3^7$ depende solo de $a \bmod 3^6,$ y cada residuo aparece exactamente una vez en $1 \le a \le 3^6.$ Además, las únicas raíces cúbicas de $1$ módulo $3^7$ son $1 + 3^6 t,$ que coinciden todas módulo $3^6;$ por lo tanto elevar al cubo es una biyección de las $486$ unidades módulo $3^6$ sobre el conjunto de cubos de unidades módulo $3^7,$ que es exactamente el conjunto de unidades $\equiv \pm 1 \pmod 9.$ Si los tres $a, b, c$ son primos con $3$ (o exactamente uno lo es), entonces módulo $9$ la suma de cubos es $\pm 1 \pm 1 \pm 1$ o $\pm 1,$ nunca $0:$ no hay soluciones.

Exactamente un múltiplo de $3,$ digamos $c = 3z:$ para cada una de las $486$ unidades $a$ y $243$ elecciones de $c,$ el requisito $b^3 \equiv -a^3 - 27z^3 \pmod{3^7}$ tiene un lado derecho que es una unidad $\equiv \pm 1 \pmod 9,$ y por lo tanto tiene exactamente una solución $b$ módulo $3^6.$ Con $3$ elecciones de cuál variable es el múltiplo de $3,$ este caso da $3 \cdot 486 \cdot 243 = 354294$ ternas.

Los tres múltiplos de $3:$ escribiendo $a = 3x$ etc. con $x, y, z$ recorriendo módulo $3^5,$ la condición se vuelve $x^3 + y^3 + z^3 \equiv 0 \pmod{3^4},$ que depende solo de los residuos módulo $3^3,$ así que el conteo es $9^3$ veces el conteo módulo $27.$ Repitiendo el mismo análisis un nivel más abajo: el caso de dos unidades da $3 \cdot 18 \cdot 9 = 486,$ y el caso en que todos son divisibles se reduce a $u + v + w \equiv 0 \pmod 3$ con $u, v, w$ módulo $9,$ dando $243;$ es decir $486 + 243 = 729$ ternas módulo $27,$ de donde $729 \cdot 729 = 531441$ aquí. En total $N = 354294 + 531441 = 885735,$ cuyo residuo módulo $1000$ es $735.$

Since $(a + 3^6 t)^3 \equiv a^3 \pmod{3^7},$ the cube of $a$ modulo $3^7$ depends only on $a \bmod 3^6,$ and each residue occurs exactly once in $1 \le a \le 3^6.$ Moreover, the only cube roots of $1$ modulo $3^7$ are $1 + 3^6 t,$ which all agree modulo $3^6;$ hence cubing is a bijection from the $486$ units modulo $3^6$ onto the set of unit cubes modulo $3^7,$ which is exactly the set of units $\equiv \pm 1 \pmod 9.$ If all three of $a, b, c$ are prime to $3$ (or exactly one is), then modulo $9$ the sum of cubes is $\pm 1 \pm 1 \pm 1$ or $\pm 1,$ never $0:$ no solutions.

Exactly one multiple of $3,$ say $c = 3z:$ for each of the $486$ units $a$ and $243$ choices of $c,$ the requirement $b^3 \equiv -a^3 - 27z^3 \pmod{3^7}$ has a right side that is a unit $\equiv \pm 1 \pmod 9,$ hence has exactly one solution $b$ modulo $3^6.$ With $3$ choices for which variable is the multiple of $3,$ this case gives $3 \cdot 486 \cdot 243 = 354294$ triples.

All three multiples of $3:$ writing $a = 3x$ etc. with $x, y, z$ ranging modulo $3^5,$ the condition becomes $x^3 + y^3 + z^3 \equiv 0 \pmod{3^4},$ which depends only on the residues modulo $3^3,$ so the count is $9^3$ times the count modulo $27.$ Repeating the same analysis one level down: the two-unit case gives $3 \cdot 18 \cdot 9 = 486,$ and the all-divisible case reduces to $u + v + w \equiv 0 \pmod 3$ with $u, v, w$ modulo $9,$ giving $243;$ that is $486 + 243 = 729$ triples modulo $27,$ hence $729 \cdot 729 = 531441$ here. In total $N = 354294 + 531441 = 885735,$ whose remainder modulo $1000$ is $735.$

Problemas del 2025 AIME I

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