Problemas del 2025 AIME I
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1.
Halle la suma de todas las bases enteras para las que es divisor de
Find the sum of all integer bases for which is a divisor of
Respuesta: 70
Pista pequeña:
Escriba los dos números en base son y
Write the two numbers in base they are and
Pista grande:
Como la condición es que divide a
Since the condition is that divides
Solución:
En base los dos números son y Necesitamos que sea divisible por y como ciertamente divide a esto equivale a que sea divisible por
Para tenemos así que debe ser o lo que da o La suma es
In base the two numbers are and We need to be divisible by and since certainly divides this is equivalent to being divisible by
For we have so must be or giving or The sum is
2.
En los puntos y están en ese orden sobre el lado con y Los puntos y están en ese orden sobre el lado con y Sea la reflexión de respecto a y sea la reflexión de respecto a El cuadrilátero tiene área Halle el área del heptágono
On points and lie in that order on side with and Points and lie in that order on side with and Let be the reflection of through and let be the reflection of through Quadrilateral has area Find the area of heptagon
Respuesta: 588
Pista pequeña:
Como y los puntos y están a del camino desde mientras que y están a del camino, así que es una fracción fija de
Since and the points and sit of the way from while and sit of the way, so is a fixed fraction of
Pista grande:
Escriba y como vectores desde y luego aplique la fórmula del zapatero al heptágono; casi todo se cancela
Write and as vectors from then apply the shoelace formula to the heptagon; almost everything cancels
Solución:
Aquí y así que y están a del camino desde sobre sus lados, mientras que y están a del camino. Los triángulos que comparten el ángulo tienen áreas proporcionales a los productos de los lados adyacentes, así que y Por lo tanto lo que da
Ahora sea y de modo que y las reflexiones son y La fórmula del zapatero para suma los productos cruzados de vértices consecutivos: los dos términos en se anulan, y
Todo se cancela excepto el único término así que el área del heptágono es
Here and so and lie of the way from along their sides while and lie of the way. Triangles sharing angle have areas proportional to the products of the adjacent sides, so and Therefore which gives
Now set and so that and the reflections are and The shoelace formula for sums cross products of consecutive vertices: the two terms at vanish, and
Everything cancels except the single term so the heptagon’s area is
3.
Los integrantes de un equipo de béisbol fueron a una heladería después de su partido. Cada jugador tomó un cono de una bola de helado de chocolate, vainilla o fresa. Al menos un jugador eligió cada sabor, y el número de jugadores que eligió chocolate fue mayor que el número de jugadores que eligió vainilla, que a su vez fue mayor que el número de jugadores que eligió fresa. Sea el número de asignaciones distintas de sabores a los jugadores que cumplen estas condiciones. Halle el residuo cuando se divide entre
The members of a baseball team went to an ice-cream parlor after their game. Each player had a single scoop cone of chocolate, vanilla, or strawberry ice cream. At least one player chose each flavor, and the number of players who chose chocolate was greater than the number of players who chose vanilla, which was greater than the number of players who chose strawberry. Let be the number of different assignments of flavors to players that meet these conditions. Find the remainder when is divided by
Respuesta: 16
Pista pequeña:
Primero halle cada terna de cantidades por sabor: enteros positivos estrictamente decrecientes cuya suma es
First find every triple of flavor counts: strictly decreasing positive integers summing to
Pista grande:
Para las cantidades el número de formas de asignar los sabores a los nueve jugadores distintos es
For counts the number of ways to assign flavors to the nine distinct players is
Solución:
Sean las cantidades de jugadores que eligen chocolate, vainilla y fresa, con Al revisar los valores pequeños de se ve que las únicas posibilidades son y
Como los jugadores son distintos, cada terna de cantidades aporta un coeficiente multinomial: Así y el residuo módulo es
Let be the numbers of players choosing chocolate, vanilla, and strawberry, with Checking small values of shows the only possibilities are and
Since the players are distinct, each triple of counts contributes a multinomial coefficient: Thus and the remainder modulo is
4.
Halle el número de pares ordenados donde tanto como son enteros entre y inclusive, tales que
Find the number of ordered pairs where both and are integers between and inclusive, such that
Respuesta: 117
Pista pequeña:
El lado izquierdo se factoriza como
The left side factors as
Pista grande:
Una recta da con la otra da con No cuente el origen dos veces.
One line gives with the other gives with Don’t count the origin twice.
Solución:
La ecuación se factoriza como así que toda solución cumple o
Las soluciones enteras de son la restricción da es decir pares. Las soluciones enteras de son la restricción da es decir pares. Las familias solo coinciden en así que el conteo es
The equation factors as so every solution has or
Integer solutions of are the constraint gives or pairs. Integer solutions of are the constraint gives or pairs. The families overlap only at so the count is
5.
Hay enteros positivos de ocho dígitos que usan cada uno de los dígitos exactamente una vez. Sea el número de estos enteros que son divisibles por Halle la diferencia entre y
There are eight-digit positive integers that use each of the digits exactly once. Let be the number of these integers that are divisible by Find the difference between and
Respuesta: 279
Pista pequeña:
Para la divisibilidad entre los cuatro dígitos en posiciones impares y los cuatro en posiciones pares deben tener sumas iguales
For divisibility by the four digits in odd positions and the four in even positions must have equal sums
Pista grande:
Cada lado suma y hay reparticiones de este tipo. Luego cuente los arreglos con un dígito de las unidades par, clasificados según cuántos dígitos pares comparten el lado del dígito de las unidades.
Each side sums to and there are such splits. Then count arrangements with an even units digit, sorted by how many even digits share the units digit’s side.
Solución:
Los dígitos suman La divisibilidad entre exige que la suma alternada de los dígitos sea múltiplo de así que si los cuatro dígitos en posiciones impares suman entonces debe ser múltiplo de Como la única posibilidad es cada bloque de cuatro posiciones tiene suma de dígitos Los subconjuntos de cuatro elementos de con suma son ocho en total, y vienen en pares complementarios.
Elija cuál de los subconjuntos ocupa las posiciones pares (que incluyen las unidades); el complemento llena las posiciones impares. Si ese subconjunto contiene de los dígitos pares, entonces el dígito de las unidades se puede elegir de formas, el resto de las posiciones pares de formas, y las posiciones impares de formas, para números. Los subconjuntos complementarios tienen valores de que suman así que sobre las elecciones Por lo tanto y
The digits sum to Divisibility by requires the alternating sum of digits to be a multiple of so if the four digits in odd positions sum to then must be a multiple of Since the only possibility is each block of four positions carries digit sum The four-element subsets of with sum are eight in all, and they come in complementary pairs.
Choose which of the subsets occupies the even positions (which include the units place); the complement fills the odd positions. If that subset contains of the even digits, then the units digit can be chosen in ways, the rest of the even positions in ways, and the odd positions in ways, for numbers. Complementary subsets have -values summing to so over all choices Hence and
6.
Un trapecio isósceles tiene una circunferencia inscrita tangente a cada uno de sus cuatro lados. El radio de la circunferencia es y el área del trapecio es Sean y las longitudes de los lados paralelos del trapecio, con Halle
An isosceles trapezoid has an inscribed circle tangent to each of its four sides. The radius of the circle is and the area of the trapezoid is Let the parallel sides of the trapezoid have lengths and with Find
Respuesta: 504
Pista pequeña:
La altura es el doble del inradio, así que la fórmula del área da
The height is twice the inradius, so the area formula gives
Pista grande:
En un cuadrilátero tangencial los dos pares de lados opuestos tienen sumas iguales, así que cada lado no paralelo mide use el teorema de Pitágoras para obtener
In a tangential quadrilateral the two pairs of opposite sides have equal sums, so each leg is use the Pythagorean theorem to get
Solución:
La circunferencia es tangente a ambos lados paralelos, así que la altura del trapecio es A partir del área, así que Por el teorema de Pitot los lados no paralelos también suman y como el trapecio es isósceles cada uno mide
Al trazar una perpendicular desde un extremo de la base más corta, el lado no paralelo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos y así que Por lo tanto
The circle is tangent to both parallel sides, so the height of the trapezoid is From the area, so By the Pitot theorem the legs together also sum to and since the trapezoid is isosceles each leg is
Dropping a perpendicular from an endpoint of the shorter base, the leg is the hypotenuse of a right triangle with legs and so Therefore
7.
Las doce letras y se agrupan al azar en seis pares de letras. Las dos letras de cada par se colocan una junto a la otra en orden alfabético para formar seis palabras de dos letras, y luego esas seis palabras se ordenan alfabéticamente. Por ejemplo, un resultado posible es La probabilidad de que la última palabra de la lista contenga es donde y son enteros positivos primos entre sí. Halle
The twelve letters and are randomly grouped into six pairs of letters. The two letters in each pair are placed next to each other in alphabetical order to form six two-letter words, and then those six words are listed alphabetically. For example, a possible result is The probability that the last word listed contains is where and are relatively prime positive integers. Find
Respuesta: 821
Pista pequeña:
La primera letra de la última palabra es la mayor de las seis letras menores de los pares
The last word’s first letter is the largest among the six smaller letters of the pairs
Pista grande:
O bien se empareja con una letra posterior y ningún par se forma entre dos letras de a , o bien la última palabra es con a todas emparejadas con a
Either pairs with a later letter and no two of through pair together, or the last word is with through all paired into through
Solución:
Hay formas de emparejar las letras. Cada palabra empieza con la letra menor de su par, así que la última palabra en orden alfabético es el par cuya letra menor es la mayor.
Caso es la letra menor de la última palabra. Entonces se empareja con una de o ( formas), y ningún par puede formarse entre dos de las cuatro letras tardías restantes (tal par empezaría con una letra posterior a ). Esas cuatro letras deben tomar compañeras distintas de de formas, y las dos letras tempranas sobrantes se emparejan entre sí. Eso da emparejamientos. Caso es la letra mayor, emparejada con alguna anterior a Entonces ninguna de puede emparejarse entre sí, así que las cinco toman compañeras entre las otras cinco letras tempranas; las seis letras menores son entonces exactamente a y la mayor es Para que la última palabra contenga su letra menor debe ser así que la última palabra es y se emparejan con de formas.
La probabilidad es así que
There are ways to pair the letters. Each word begins with the smaller letter of its pair, so the last word alphabetically is the pair whose smaller letter is largest.
Case is the smaller letter of the last word. Then pairs with one of or ( ways), and no two of the remaining four late letters may pair together (such a pair would start with a letter after ). Those four letters must take distinct partners from in ways, and the two leftover early letters pair with each other. That gives pairings. Case is the larger letter, paired with some before Then none of may pair together, so all five take partners among the other five early letters; the six smaller letters are then exactly through and the largest is For the last word to contain its smaller letter must therefore be so the last word is and match with in ways.
The probability is so
8.
Sea un número real tal que el sistema tiene exactamente una solución compleja La suma de todos los valores posibles de se puede escribir como donde y son enteros positivos primos entre sí. Halle Aquí
Let be a real number such that the system has exactly one complex solution The sum of all possible values of can be written as where and are relatively prime positive integers. Find Here
Respuesta: 77
Pista pequeña:
La primera ecuación es una circunferencia centrada en de radio la segunda es la mediatriz de los puntos y
The first equation is a circle centered at with radius the second is the perpendicular bisector of the points and
Pista grande:
Que haya exactamente una solución significa que la mediatriz es tangente a la circunferencia: iguale a la distancia de a la recta
Exactly one solution means the bisector is tangent to the circle: set the distance from to the line equal to
Solución:
La primera ecuación dice que está en la circunferencia de radio centrada en La segunda dice que equidista de y es decir, está en la mediatriz de El sistema tiene exactamente una solución precisamente cuando esta recta es tangente a la circunferencia.
El punto medio es y tiene pendiente así que la mediatriz tiene pendiente en forma estándar La tangencia exige así que lo que da o
La suma es así que
The first equation says lies on the circle of radius centered at The second says is equidistant from and i.e. it lies on the perpendicular bisector of The system has exactly one solution precisely when this line is tangent to the circle.
The midpoint is and has slope so the bisector has slope in standard form Tangency requires so giving or
The sum is so
9.
La parábola de ecuación se rota en sentido antihorario alrededor del origen. El único punto en el cuarto cuadrante donde la parábola original y su imagen se intersecan tiene coordenada igual a donde y son enteros positivos, y y son primos entre sí. Halle
The parabola with equation is rotated counterclockwise around the origin. The unique point in the fourth quadrant where the original parabola and its image intersect has -coordinate where and are positive integers, and and are relatively prime. Find
Respuesta: 62
Pista pequeña:
está en ambas curvas exactamente cuando y su rotación en están ambos sobre la parábola original, a igual distancia del origen
lies on both curves exactly when and its rotation by both lie on the original parabola, at equal distance from the origin
Pista grande:
Intente que la imagen rotada sea el punto reflejado eso obliga a que puede sustituir en la parábola
Try making the rotated image the mirror point that forces which you can substitute into the parabola
Solución:
Un punto está en la parábola imagen exactamente cuando su rotación en a saber está en la parábola original. Así que necesitamos y ambos sobre La parábola es simétrica bajo así que buscamos cuya imagen rotada sea el punto reflejado
Igualar las coordenadas da es decir y entonces la coordenada se cumple automáticamente: Sustituir en da cuya raíz positiva es Entonces así que este punto está en el cuarto cuadrante, sobre ambas curvas.
El problema garantiza que la intersección en el cuarto cuadrante es única, así que su coordenada es lo que da
A point lies on the image parabola exactly when its rotation by namely lies on the original parabola. So we need and both on The parabola is symmetric in so we look for whose rotated image is the mirror point
Matching -coordinates gives i.e. and then the -coordinate works automatically: Substituting into gives whose positive root is Then so this point is in the fourth quadrant, on both curves.
The problem guarantees the fourth-quadrant intersection is unique, so its -coordinate is giving
10.
Las celdas de una cuadrícula se llenan usando los números a de modo que cada fila contenga números distintos, y que cada uno de los tres bloques resaltados con contorno grueso en el ejemplo de abajo contenga números distintos, como en las primeras tres filas de un Sudoku.
El número de formas distintas de llenar tal cuadrícula se puede escribir como donde y son números primos distintos y son enteros positivos. Halle
The cells of a grid are filled in using the numbers through so that each row contains different numbers, and each of the three blocks heavily outlined in the example below contains different numbers, as in the first three rows of a Sudoku puzzle.
The number of different ways to fill such a grid can be written as where and are distinct prime numbers and are positive integers. Find
Respuesta: 81
Pista pequeña:
Llene el bloque izquierdo de formas, y luego decida qué dígitos de cada una de sus filas van a cada fila del bloque central
Fill the left block in ways, then decide which digits from each of its rows go into each row of the middle block
Pista grande:
El contenido de las filas del bloque central se puede elegir de formas, el bloque derecho queda entonces determinado, y cada fila de ambos bloques se puede ordenar de formas
The middle block’s row contents can be chosen in ways, the right block is then determined, and every row of both blocks can be ordered in ways
Solución:
Llene el bloque izquierdo arbitrariamente: formas. Sean y los conjuntos de tres dígitos de sus filas. En el bloque central, la fila debe evitar (esos dígitos ya aparecen en la fila ), y las tres filas del bloque deben partir Digamos que su fila superior toma dígitos de y de Equilibrar las tres filas obliga entonces a la fila central a tomar dígitos de junto con los dígitos restantes de y la fila inferior queda determinada. El número de elecciones de contenido es
El contenido de las filas del bloque derecho queda entonces forzado (la fila toma lo que falte en la fila ), y cada una de las seis filas de los bloques central y derecho se puede ordenar internamente de formas. El total es
Por lo tanto
Fill the left block arbitrarily: ways. Let and be the sets of three digits in its rows. In the middle block, row must avoid (those digits already appear in row ), and the block’s three rows must partition Say its top row takes digits from and from Balancing the three rows then forces the middle row to take digits from together with all remaining digits of and the bottom row is determined. The number of content choices is
The right block’s row contents are then forced (row takes whatever is missing from row ), and each of the six rows of the middle and right blocks can be ordered internally in ways. The total is
Therefore
11.
Una función lineal a trozos se define por y para todo número real La gráfica de tiene el patrón de diente de sierra que se muestra abajo.
La parábola interseca la gráfica de en un número finito de puntos. La suma de las coordenadas de todos estos puntos de intersección se puede expresar en la forma donde y son enteros positivos tales que tienen máximo común divisor igual a y no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle
A piecewise linear function is defined by and for all real numbers The graph of has the sawtooth pattern depicted below.
The parabola intersects the graph of at finitely many points. The sum of the -coordinates of all these intersection points can be expressed in the form where and are positive integers such that have greatest common divisor equal to and is not divisible by the square of any prime. Find
Respuesta: 259
Pista pequeña:
Sobre la parábola las intersecciones son las soluciones de con así que
On the parabola intersections are the solutions of with so
Pista grande:
Cada trozo lineal convierte en una cuadrática; sume las raíces con las fórmulas de Vieta, pero verifique cuáles raíces caen realmente en el intervalo del trozo
Each linear piece turns into a quadratic; add the roots with Vieta’s formulas, but check which roots actually land in the piece’s interval
Solución:
Como solo toma valores en toda intersección cumple y por lo tanto En los trozos ascendentes, con así que se convierte en en los trozos descendentes, con lo que da En cada caso una raíz es válida exactamente cuando está en (ascendente) o (descendente), pues entonces cae automáticamente en el intervalo correcto.
Para los trozos ascendentes las raíces son y ambas son válidas exactamente cuando es decir para nueve cuadráticas, cada una aportando suma de raíces por Vieta. Para los trozos descendentes las raíces son La raíz con el signo menos exige lo que se cumple para esas ocho cuadráticas aportan cada una Para solo la raíz positiva es válida.
El total es y es libre de cuadrados, así que
Since only takes values in any intersection has and hence On the rising pieces, with so becomes on the falling pieces, with giving In each case a root is valid exactly when it lies in (rising) or (falling), since then automatically falls in the correct interval.
For the rising pieces the roots are and both are valid exactly when i.e. for nine quadratics, each contributing root sum by Vieta. For the falling pieces the roots are The root with the minus sign requires which holds for those eight quadratics each contribute For only the positive root is valid.
The total is and is squarefree, so
12.
El conjunto de puntos del espacio de coordenadas -dimensional que están en el plano cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades forma tres regiones convexas disjuntas. Exactamente una de esas regiones tiene área finita. El área de esta región finita se puede expresar en la forma donde y son enteros positivos y no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle
The set of points in -dimensional coordinate space that lie in the plane whose coordinates satisfy the inequalities forms three disjoint convex regions. Exactly one of those regions has finite area. The area of this finite region can be expressed in the form where and are positive integers and is not divisible by the square of any prime. Find
Respuesta: 510
Pista pequeña:
La primera desigualdad se reordena a y la segunda a
The first inequality rearranges to and the second to
Pista grande:
La parte acotada es sobre el plano; sus vértices provienen de las fronteras y
The bounded piece is on the plane; its corners come from the boundaries and
Solución:
Como y análogamente las condiciones son y Cada condición ofrece dos patrones de signos, dando cuatro combinaciones. La combinación es imposible sobre el plano: obliga a lo que contradice Dos de las combinaciones restantes permiten que una coordenada tienda al infinito y producen las dos regiones no acotadas.
La región acotada es (la cuarta restricción es entonces automática): el conjunto sobre el plano. Su clausura es el triángulo cuyos vértices se obtienen al intersecar las rectas frontera de dos en dos: da da y da
Con los vectores de los lados son y cuyo producto cruz es de longitud El área es así que
Since and similarly the conditions are and Each condition offers two sign patterns, giving four combinations. The combination is impossible on the plane: forces contradicting Two of the remaining combinations allow a coordinate to run off to infinity, producing the two unbounded regions.
The bounded region is (the fourth constraint is then automatic): the set on the plane. Its closure is the triangle whose vertices come from intersecting the boundary lines pairwise: gives gives and gives
With the edge vectors are and whose cross product is of length The area is so
13.
Alex divide un disco en cuatro cuadrantes con dos diámetros perpendiculares que se cortan en el centro del disco. Traza segmentos de recta más a través del disco, dibujando cada segmento al seleccionar al azar dos puntos del perímetro del disco en cuadrantes diferentes y conectar esos dos puntos. Halle el número esperado de regiones en que estos segmentos de recta dividen el disco.
Alex divides a disk into four quadrants with two perpendicular diameters intersecting at the center of the disk. He draws more line segments through the disk, drawing each segment by selecting two points at random on the perimeter of the disk in different quadrants and connecting these two points. Find the expected number of regions into which these line segments divide the disk.
Respuesta: 204
Pista pequeña:
Cada nuevo segmento agrega más el número de segmentos anteriores que cruza, así que halle el número total esperado de cruces interiores
Each new segment adds plus the number of earlier segments it crosses, so find the expected total number of interior crossings
Pista grande:
Clasifique por pares de cuadrantes: una cuerda aleatoria corta un diámetro dado con probabilidad y dos cuerdas aleatorias se cruzan con probabilidad
Classify by quadrant pairs: a random chord meets a given diameter with probability and two random chords cross with probability
Solución:
Con probabilidad ningún extremo aleatorio ni cruce interior coincide con otro, así que al añadir las cuerdas una por una, cada nueva cuerda aumenta el número de regiones en más el número de cuerdas existentes que cruza dentro del disco. Partiendo de una región, el total esperado es donde es el número esperado de pares que se cruzan en el interior. Los dos diámetros se cruzan una vez. Los extremos de una cuerda aleatoria caen en uno de los pares de cuadrantes, cada uno con probabilidad La cuerda cruza el diámetro vertical exactamente cuando sus extremos tienen signos de opuestos, lo que ocurre en de los pares, así que corta cada diámetro con probabilidad y ambos diámetros juntos veces en promedio: las cuerdas aportan cruces esperados con los diámetros.
Para dos cuerdas aleatorias, condicionemos sobre sus pares de cuadrantes ( combinaciones ordenadas igualmente probables). Si una usa los cuadrantes y la otra los extremos siempre se alternan, así que siempre se cruzan: combinaciones. Si los dos pares son adyacentes y disjuntos, como y las cuerdas nunca se cruzan: combinaciones. En cada una de las otras combinaciones, si los extremos se alternan alrededor del círculo se reduce a comparar puntos uniformes independientes dentro de cuadrantes compartidos, por ejemplo, una cuerda y una cuerda se cruzan exactamente cuando los dos puntos del cuadrante aparecen en un orden específico, y la probabilidad es por simetría. Así que dos cuerdas aleatorias se cruzan con probabilidad
Los pares de cuerdas aportan cruces esperados, así que y el número esperado de regiones es
With probability no random endpoint or interior crossing coincides with another, so adding chords one at a time, each new chord increases the region count by plus the number of existing chords it crosses inside the disk. Starting from one region, the expected total is where is the expected number of interior crossing pairs. The two diameters cross once. A random chord’s endpoints land in one of the quadrant pairs, each with probability The chord crosses the vertical diameter exactly when its endpoints have opposite -signs, which happens for of the pairs, so it meets each diameter with probability and both diameters together times on average: the chords contribute expected crossings with the diameters.
For two random chords, condition on their quadrant pairs ( equally likely ordered combinations). If one uses quadrants and the other the endpoints always alternate, so they always cross: combinations. If the two pairs are adjacent and disjoint, such as and the chords never cross: combinations. In each of the other combinations, whether the endpoints alternate around the circle reduces to comparing independent uniform points inside shared quadrants — for example, a chord and a chord cross exactly when the two quadrant- points come in one specific order — and the probability is by symmetry. So two random chords cross with probability
The chord pairs contribute expected crossings, so and the expected number of regions is
14.
Sea un pentágono convexo con y Para cada punto del plano, defina El menor valor posible de se puede expresar como donde y son enteros positivos y no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle
Let be a convex pentagon with and For each point in the plane, define The least possible value of can be expressed as where and are positive integers and is not divisible by the square of any prime. Find
Respuesta: 60
Pista pequeña:
Calcule y los triángulos y resultan tener ángulos rectos en y
Compute and triangles and turn out to have right angles at and
Pista grande:
Separe y muestre que el punto de Fermat del triángulo está en el segmento
Split and show that the Fermat point of triangle lies on segment
Solución:
En el triángulo la ley de cosenos con da así que como el ángulo en es recto y Del mismo modo con un ángulo recto en y En el triángulo con
Separe donde es el mínimo de Como obtenemos así que y Todos los ángulos del triángulo son menores que así que se alcanza en su punto de Fermat; al construir un triángulo equilátero sobre el lado del lado opuesto a el argumento estándar de rotación da y como también tiene coseno
Ambas cotas se alcanzan simultáneamente: sea el punto de Fermat de de modo que Como el punto está en la circunferencia circunscrita de de donde análogamente está en la circunferencia circunscrita de y Así de modo que está en el segmento y La respuesta es
In triangle the law of cosines with gives so since the angle at is right and Likewise with a right angle at and In triangle with
Split where is the minimum of Since we get so and All angles of triangle are less than so is attained at its Fermat point; erecting an equilateral triangle on side away from the standard rotation argument gives and since also has cosine
Both bounds are tight simultaneously: let be the Fermat point of so Since point lies on the circumcircle of whence similarly lies on the circumcircle of and Thus so lies on segment and The answer is
15.
Sea el número de ternas ordenadas de enteros positivos tales que y es múltiplo de Halle el residuo cuando se divide entre
Let denote the number of ordered triples of positive integers such that and is a multiple of Find the remainder when is divided by
Respuesta: 735
Pista pequeña:
depende solo de y los cubos de números coprimos con son
depends only on and cubes of numbers prime to are
Pista grande:
Si los tres números son coprimos con tres, o si solo uno lo es, la suma de sus cubos no puede ser módulo Con un múltiplo de cada objetivo válido tiene exactamente una raíz cúbica; con los tres, recurra módulo
Three units, or one unit, can’t sum to mod With one multiple of each valid target has exactly one cube root; with all three, recurse modulo
Solución:
Como el cubo de módulo depende solo de y cada residuo aparece exactamente una vez en Además, las únicas raíces cúbicas de módulo son que coinciden todas módulo por lo tanto elevar al cubo es una biyección de las unidades módulo sobre el conjunto de cubos de unidades módulo que es exactamente el conjunto de unidades Si los tres números y son coprimos con (o exactamente uno lo es), entonces módulo la suma de cubos es o nunca no hay soluciones.
Exactamente un múltiplo de digamos para cada una de las unidades y elecciones de el requisito tiene un lado derecho que es una unidad y por lo tanto tiene exactamente una solución módulo Con elecciones de cuál variable es el múltiplo de este caso da ternas.
Los tres múltiplos de escribiendo etc. con y recorriendo módulo la condición se vuelve que depende solo de los residuos módulo así que el conteo es veces el conteo módulo Repitiendo el mismo análisis un nivel más abajo: el caso de dos unidades da y el caso en que todos son divisibles se reduce a con y módulo dando es decir ternas módulo de donde aquí. En total cuyo residuo módulo es
Since the cube of modulo depends only on and each residue occurs exactly once in Moreover, the only cube roots of modulo are which all agree modulo hence cubing is a bijection from the units modulo onto the set of unit cubes modulo which is exactly the set of units If all three of and are prime to (or exactly one is), then modulo the sum of cubes is or never no solutions.
Exactly one multiple of say for each of the units and choices of the requirement has a right side that is a unit hence has exactly one solution modulo With choices for which variable is the multiple of this case gives triples.
All three multiples of writing etc. with and ranging modulo the condition becomes which depends only on the residues modulo so the count is times the count modulo Repeating the same analysis one level down: the two-unit case gives and the all-divisible case reduces to with and modulo giving that is triples modulo hence here. In total whose remainder modulo is