2023 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

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3:00:00

1.

Cinco hombres y nueve mujeres se colocan a intervalos iguales alrededor de un círculo en orden aleatorio. La probabilidad de que cada hombre quede diametralmente opuesto a una mujer es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Five men and nine women stand equally spaced around a circle in random order. The probability that every man stands diametrically opposite a woman is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 191

Conceptos:probabilidad básica combinaciones emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Las $14$ posiciones se dividen en $7$ pares diametralmente opuestos. Solo importa el conjunto de posiciones ocupadas por los hombres, y los $\binom{14}{5} = 2002$ conjuntos de cinco elementos son igualmente probables. Cada hombre queda opuesto a una mujer exactamente cuando ningún par contiene dos hombres, así que elige cuáles $5$ de los $7$ pares contienen un hombre ( $\binom{7}{5} = 21$ formas) y qué posición de cada par elegido ocupa el hombre ( $2^5 = 32$ formas), para $21 \cdot 32 = 672$ conjuntos favorables.

La probabilidad es $\frac{672}{2002} = \frac{48}{143},$ así que $m + n = 48 + 143 = 191.$

The $14$ positions split into $7$ diametrically opposite pairs. Only the set of positions occupied by the men matters, and all $\binom{14}{5} = 2002$ five-element sets are equally likely. Every man stands opposite a woman exactly when no pair contains two men, so choose which $5$ of the $7$ pairs contain a man ( $\binom{7}{5} = 21$ ways) and which position of each chosen pair the man occupies ( $2^5 = 32$ ways), for $21 \cdot 32 = 672$ favorable sets.

The probability is $\frac{672}{2002} = \frac{48}{143},$ so $m + n = 48 + 143 = 191.$

2.

Los números reales positivos $b \ne 1$ y $n$ satisfacen las ecuaciones $\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}$ y $b \cdot \log_b n = \log_b (bn).$ El valor de $n$ es $\frac{j}{k},$ donde $j$ y $k$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $j + k.$

Positive real numbers $b \ne 1$ and $n$ satisfy the equations $\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}$ and $b \cdot \log_b n = \log_b (bn).$ The value of $n$ is $\frac{j}{k},$ where $j$ and $k$ are relatively prime positive integers. Find $j + k.$

Respuesta

Respuesta: 881

Conceptos:logaritmo sustitución

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

Sea $x = \log_b n.$ La primera ecuación dice $\sqrt{x} = \log_b n^{1/2} = \frac{x}{2},$ así que $x = \frac{x^2}{4},$ lo que da $x = 0$ o $x = 4.$ Si $x = 0$ entonces $n = 1,$ y la segunda ecuación diría $0 = \log_b b = 1,$ imposible; por lo tanto $x = 4.$

La segunda ecuación dice $bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x,$ así que $4b = 5$ y $b = \frac{5}{4}.$ Entonces $n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256},$ que ya está en su forma más simple, así que $j + k = 625 + 256 = 881.$

Let $x = \log_b n.$ The first equation says $\sqrt{x} = \log_b n^{1/2} = \frac{x}{2},$ so $x = \frac{x^2}{4},$ giving $x = 0$ or $x = 4.$ If $x = 0$ then $n = 1,$ and the second equation would read $0 = \log_b b = 1,$ impossible; so $x = 4.$

The second equation says $bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x,$ so $4b = 5$ and $b = \frac{5}{4}.$ Then $n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256},$ which is in lowest terms, so $j + k = 625 + 256 = 881.$

3.

Un plano contiene $40$ rectas, de las cuales no hay $2$ paralelas. Supón que hay $3$ puntos donde se cortan exactamente $3$ rectas, $4$ puntos donde se cortan exactamente $4$ rectas, $5$ puntos donde se cortan exactamente $5$ rectas, $6$ puntos donde se cortan exactamente $6$ rectas, y ningún punto donde se corten más de $6$ rectas. Halla el número de puntos donde se cortan exactamente $2$ rectas.

A plane contains $40$ lines, no $2$ of which are parallel. Suppose that there are $3$ points where exactly $3$ lines intersect, $4$ points where exactly $4$ lines intersect, $5$ points where exactly $5$ lines intersect, $6$ points where exactly $6$ lines intersect, and no points where more than $6$ lines intersect. Find the number of points where exactly $2$ lines intersect.

Respuesta

Respuesta: 607

Conceptos:conteo de intersecciones combinaciones doble conteo

Nivel de dificultad: 2090

Solución:

Como no hay dos de las $40$ rectas que sean paralelas, cada dos rectas se cortan, lo que da $\binom{40}{2} = 780$ pares de rectas, y cada par se corta en exactamente un punto. Un punto donde se cortan exactamente $k$ rectas corresponde exactamente a $\binom{k}{2}$ de estos pares.

Los puntos dados corresponden a $3\binom{3}{2} + 4\binom{4}{2}$ $+ 5\binom{5}{2} + 6\binom{6}{2}$ $= 9 + 24 + 50 + 90 = 173$ pares de rectas. Cada par restante se corta en un punto donde se cortan exactamente $2$ rectas, un punto por par, así que hay $780 - 173 = 607$ de tales puntos.

Since no two of the $40$ lines are parallel, every two lines cross, giving $\binom{40}{2} = 780$ pairs of lines, and each pair meets at exactly one point. A point where exactly $k$ lines meet accounts for exactly $\binom{k}{2}$ of these pairs.

The given points account for $3\binom{3}{2} + 4\binom{4}{2}$ $+ 5\binom{5}{2} + 6\binom{6}{2}$ $= 9 + 24 + 50 + 90 = 173$ pairs of lines. Each remaining pair meets at a point where exactly $2$ lines intersect, one point per pair, so there are $780 - 173 = 607$ such points.

4.

La suma de todos los enteros positivos $m$ tales que $\frac{13!}{m}$ es un cuadrado perfecto puede escribirse como $2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ y $f$ son enteros positivos. Halla $a + b + c + d + e + f.$

The sum of all positive integers $m$ such that $\frac{13!}{m}$ is a perfect square can be written as $2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f,$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ and $f$ are positive integers. Find $a + b + c + d + e + f.$

Respuesta

Respuesta: 12

Conceptos:factorización en primos cuadrado perfecto factorial

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

Como $13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ un $m = 2^x 3^y 5^z 7^w 11^u 13^v$ válido debe dejar par cada exponente de $\frac{13!}{m}$ : $x \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\},$ $y \in \{1, 3, 5\},$ $z \in \{0, 2\},$ y $w = u = v = 1.$

Las elecciones son independientes, así que la suma de todos esos $m$ se factoriza como $\begin{aligned} &(1 + 4 + \cdots + 1024) \\ &\quad {}\cdot (3 + 27 + 243) \\ &\quad {}\cdot (1 + 25) \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \\ &= 1365 \cdot 273 \cdot 26 \cdot 1001. \end{aligned}$ Como $1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13,$ $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13,$ $26 = 2 \cdot 13,$ y $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13,$ la suma es igual a $2^1 3^2 5^1 7^3 11^1 13^4,$ y $a + b + c + d + e + f$ $= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4$ $= 12.$

Since $13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ a valid $m = 2^x 3^y 5^z 7^w 11^u 13^v$ must leave every exponent of $\frac{13!}{m}$ even: $x \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\},$ $y \in \{1, 3, 5\},$ $z \in \{0, 2\},$ and $w = u = v = 1.$

The choices are independent, so the sum of all such $m$ factors as $\begin{aligned} &(1 + 4 + \cdots + 1024) \\ &\quad {}\cdot (3 + 27 + 243) \\ &\quad {}\cdot (1 + 25) \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \\ &= 1365 \cdot 273 \cdot 26 \cdot 1001. \end{aligned}$ Since $1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13,$ $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13,$ $26 = 2 \cdot 13,$ and $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13,$ the sum equals $2^1 3^2 5^1 7^3 11^1 13^4,$ and $a + b + c + d + e + f$ $= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4$ $= 12.$

5.

Sea $P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita al cuadrado $ABCD$ que satisface $PA \cdot PC = 56$ y $PB \cdot PD = 90.$ Halla el área de $ABCD.$

Let $P$ be a point on the circle circumscribing square $ABCD$ that satisfies $PA \cdot PC = 56$ and $PB \cdot PD = 90.$ Find the area of $ABCD.$

Respuesta

Respuesta: 106

Conceptos:círculo geometría analítica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Sea la circunferencia de centro $O$ y radio $R,$ con $A = (R, 0),$ $B = (0, R),$ $C = (-R, 0),$ $D = (0, -R),$ y $P = (R\cos\theta, R\sin\theta).$ Entonces $PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)$ y $PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta),$ así que $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56.$ De la misma forma $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90.$

Elevando al cuadrado y sumando, $4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236,$ así que $2R^2 = \sqrt{11236} = 106.$ El cuadrado tiene diagonal $2R,$ por lo que su área es $\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106.$

Let the circle have center $O$ and radius $R,$ with $A = (R, 0),$ $B = (0, R),$ $C = (-R, 0),$ $D = (0, -R),$ and $P = (R\cos\theta, R\sin\theta).$ Then $PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)$ and $PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta),$ so $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56.$ In the same way $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90.$

Squaring and adding, $4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236,$ so $2R^2 = \sqrt{11236} = 106.$ The square has diagonal $2R,$ hence area $\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106.$

6.

Alice sabe que se le mostrarán $3$ cartas rojas y $3$ cartas negras, una a la vez, en orden aleatorio. Antes de que se muestre cada carta, Alice debe adivinar su color. Si Alice juega de forma óptima, el número esperado de cartas que adivinará correctamente es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Alice knows that $3$ red cards and $3$ black cards will be revealed to her one at a time in random order. Before each card is revealed, Alice must guess its color. If Alice plays optimally, the expected number of cards she will guess correctly is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 51

Conceptos:valor esperado probabilidad recursiva optimización

Nivel de dificultad: 2600

Solución:

Sea lo que sea que Alice adivine, la baraja evoluciona de la misma manera; solo la probabilidad de acierto inmediato depende de su suposición, así que es óptimo adivinar un color con más cartas restantes. Sea $E(r, b)$ el número esperado de aciertos desde un estado con $r$ rojas y $b$ negras restantes. Entonces $E(r, 0) = r,$ $E(0, b) = b,$ y $\begin{aligned} E(r, b) &= \frac{\max(r, b)}{r + b} \\ &\quad {}+ \scriptsize \frac{r\,E(r-1, b) + b\,E(r, b-1)}{r + b}. \end{aligned}$

Por simetría $E(r, b) = E(b, r).$ Calculando hacia arriba: $E(1,1) = \frac{3}{2},$ $E(2,1) = \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 2}{3} = \frac{7}{3},$ $E(2,2) = \frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{17}{6},$ $E(3,1) = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \frac{7}{3} + 3}{4} = \frac{13}{4},$ $E(3,2) = \frac{3}{5} + \frac{3 \cdot \frac{17}{6} + 2 \cdot \frac{13}{4}}{5} = \frac{18}{5},$ y finalmente $E(3,3) = \frac{1}{2} + \frac{18}{5} = \frac{41}{10}.$

Así que el número esperado de aciertos es $\frac{41}{10},$ y $m + n = 41 + 10 = 51.$

Whatever Alice guesses, the deck evolves the same way; only the immediate success probability depends on her guess, so it is optimal to guess a color with the most cards remaining. Let $E(r, b)$ be the expected number of correct guesses from a state with $r$ red and $b$ black cards left. Then $E(r, 0) = r,$ $E(0, b) = b,$ and $\begin{aligned} E(r, b) &= \frac{\max(r, b)}{r + b} \\ &\quad {}+ \scriptsize \frac{r\,E(r-1, b) + b\,E(r, b-1)}{r + b}. \end{aligned}$

By symmetry $E(r, b) = E(b, r).$ Computing upward: $E(1,1) = \frac{3}{2},$ $E(2,1) = \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 2}{3} = \frac{7}{3},$ $E(2,2) = \frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{17}{6},$ $E(3,1) = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \frac{7}{3} + 3}{4} = \frac{13}{4},$ $E(3,2) = \frac{3}{5} + \frac{3 \cdot \frac{17}{6} + 2 \cdot \frac{13}{4}}{5} = \frac{18}{5},$ and finally $E(3,3) = \frac{1}{2} + \frac{18}{5} = \frac{41}{10}.$

So the expected number of correct guesses is $\frac{41}{10},$ and $m + n = 41 + 10 = 51.$

7.

Llamamos a un entero positivo $n$ extra-distinto si los restos al dividir $n$ entre $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6$ son distintos. Halla el número de enteros positivos extra-distintos menores que $1000.$

Call a positive integer $n$ extra-distinct if the remainders when $n$ is divided by $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6$ are distinct. Find the number of extra-distinct positive integers less than $1000.$

Respuesta

Respuesta: 49

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto análisis por casos

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Escribe $r_k$ para el resto de $n$ módulo $k,$ y observa que $r_2 \equiv r_4 \pmod 2,$ $r_2 \equiv r_6 \pmod 2,$ y $r_3 \equiv r_6 \pmod 3.$ Si $r_2 = 0:$ entonces $r_4$ es par y distinto de $r_2,$ así que $r_4 = 2;$ luego $r_6$ es par y evita $\{0, 2\},$ así que $r_6 = 4,$ lo que da $r_3 = 1;$ finalmente $r_5$ evita $\{0, 1, 2, 4\},$ así que $r_5 = 3.$ Estas condiciones dicen que $n \equiv -2$ módulo cada uno de $2, 3, 4, 5, 6,$ es decir, $n \equiv 58 \pmod{60}.$

Si $r_2 = 1:$ de forma similar $r_4 = 3,$ luego $r_6 = 5,$ dando $r_3 = 2,$ y $r_5$ evita $\{1, 2, 3, 5\},$ así que $r_5 \in \{0, 4\}.$ La elección $r_5 = 4$ da $n \equiv -1 \pmod{60},$ es decir, $n \equiv 59;$ la elección $r_5 = 0$ da $n \equiv 11 \pmod{12}$ con $5 \mid n,$ es decir, $n \equiv 35 \pmod{60}.$

Por debajo de $1000$ hay $17$ enteros congruentes con $35,$ $16$ congruentes con $58,$ y $16$ congruentes con $59$ módulo $60,$ para un total de $17 + 16 + 16 = 49.$

Write $r_k$ for the remainder of $n$ modulo $k,$ and note $r_2 \equiv r_4 \pmod 2,$ $r_2 \equiv r_6 \pmod 2,$ and $r_3 \equiv r_6 \pmod 3.$ If $r_2 = 0:$ then $r_4$ is even and different from $r_2,$ so $r_4 = 2;$ then $r_6$ is even and avoids $\{0, 2\},$ so $r_6 = 4,$ which gives $r_3 = 1;$ finally $r_5$ avoids $\{0, 1, 2, 4\},$ so $r_5 = 3.$ These say $n \equiv -2$ modulo each of $2, 3, 4, 5, 6,$ i.e. $n \equiv 58 \pmod{60}.$

If $r_2 = 1:$ similarly $r_4 = 3,$ then $r_6 = 5,$ giving $r_3 = 2,$ and $r_5$ avoids $\{1, 2, 3, 5\},$ so $r_5 \in \{0, 4\}.$ The choice $r_5 = 4$ gives $n \equiv -1 \pmod{60},$ i.e. $n \equiv 59;$ the choice $r_5 = 0$ gives $n \equiv 11 \pmod{12}$ with $5 \mid n,$ i.e. $n \equiv 35 \pmod{60}.$

Below $1000$ there are $17$ integers congruent to $35,$ $16$ congruent to $58,$ and $16$ congruent to $59$ modulo $60,$ for a total of $17 + 16 + 16 = 49.$

8.

El rombo $ABCD$ tiene $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Hay un punto $P$ sobre la circunferencia inscrita del rombo tal que las distancias de $P$ a las rectas $DA,$ $AB,$ y $BC$ son $9,$ $5,$ y $16,$ respectivamente. Halla el perímetro de $ABCD.$

Rhombus $ABCD$ has $\angle BAD \lt 90^\circ.$ There is a point $P$ on the incircle of the rhombus such that the distances from $P$ to the lines $DA,$ $AB,$ and $BC$ are $9,$ $5,$ and $16,$ respectively. Find the perimeter of $ABCD.$

Respuesta

Respuesta: 125

Conceptos:rombo circunferencia inscrita, incentro e inradio geometría analítica

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Las distancias de un punto interior a las rectas paralelas $DA$ y $BC$ suman la distancia entre ellas, la altura del rombo. Así que la altura es $9 + 16 = 25,$ y la circunferencia inscrita, tangente a ambas rectas, tiene radio $\frac{25}{2}.$ Centra la circunferencia inscrita en el origen con $DA:\ y = \frac{25}{2}$ y $BC:\ y = -\frac{25}{2}.$ Entonces $P$ tiene coordenada $y$ igual a $\frac{25}{2} - 9 = \frac{7}{2},$ y $x^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \left(\frac{25}{2}\right)^2$ da $x = \pm 12.$

Sea $\alpha = \angle BAD.$ La recta $AB$ es tangente a la circunferencia inscrita y forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, así que (orientando la figura de forma adecuada) es $x \sin\alpha + y \cos\alpha = -\frac{25}{2},$ y los puntos interiores satisfacen $x\sin\alpha + y\cos\alpha + \frac{25}{2} \gt 0.$ La condición $\operatorname{dist}(P, AB) = 5$ dice $x \sin\alpha + \frac{7}{2}\cos\alpha + \frac{25}{2} = 5.$ Para $x = 12$ el lado izquierdo supera $\frac{25}{2},$ así que $x = -12,$ y la ecuación queda $24\sin\alpha - 7\cos\alpha = 15.$

Sustituyendo $7\cos\alpha = 24\sin\alpha - 15$ en $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ se obtiene $625\sin^2\alpha - 720\sin\alpha$ $+ 176 = 0,$ así que $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ o $\frac{44}{125}.$ La raíz $\frac{44}{125}$ hace que $\cos\alpha = \frac{24\sin\alpha - 15}{7}$ sea negativo, contradiciendo $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Así que $\sin\alpha = \frac{4}{5},$ la longitud del lado es $\frac{25}{\sin\alpha} = \frac{125}{4},$ y el perímetro es $4 \cdot \frac{125}{4} = 125.$

The distances from an interior point to the parallel lines $DA$ and $BC$ add up to the distance between them, the height of the rhombus. So the height is $9 + 16 = 25,$ and the incircle, tangent to both lines, has radius $\frac{25}{2}.$ Center the incircle at the origin with $DA:\ y = \frac{25}{2}$ and $BC:\ y = -\frac{25}{2}.$ Then $P$ has $y$ -coordinate $\frac{25}{2} - 9 = \frac{7}{2},$ and $x^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \left(\frac{25}{2}\right)^2$ gives $x = \pm 12.$

Let $\alpha = \angle BAD.$ Line $AB$ is tangent to the incircle and makes angle $\alpha$ with the horizontal, so (orienting the figure suitably) it is $x \sin\alpha + y \cos\alpha = -\frac{25}{2},$ and interior points satisfy $x\sin\alpha + y\cos\alpha + \frac{25}{2} \gt 0.$ The condition $\operatorname{dist}(P, AB) = 5$ reads $x \sin\alpha + \frac{7}{2}\cos\alpha + \frac{25}{2} = 5.$ For $x = 12$ the left side exceeds $\frac{25}{2},$ so $x = -12,$ and the equation becomes $24\sin\alpha - 7\cos\alpha = 15.$

Substituting $7\cos\alpha = 24\sin\alpha - 15$ into $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ yields $625\sin^2\alpha - 720\sin\alpha$ $+ 176 = 0,$ so $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ or $\frac{44}{125}.$ The root $\frac{44}{125}$ makes $\cos\alpha = \frac{24\sin\alpha - 15}{7}$ negative, contradicting $\angle BAD \lt 90^\circ.$ So $\sin\alpha = \frac{4}{5},$ the side length is $\frac{25}{\sin\alpha} = \frac{125}{4},$ and the perimeter is $4 \cdot \frac{125}{4} = 125.$

9.

Halla el número de polinomios cúbicos $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros en $\{-20, -19, -18, \ldots, 18, 19, 20\},$ tales que existe un único entero $m \ne 2$ con $p(m) = p(2).$

Find the number of cubic polynomials $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers in $\{-20, -19, -18, \ldots, 18, 19, 20\},$ such that there is a unique integer $m \ne 2$ with $p(m) = p(2).$

Respuesta

Respuesta: 738

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Como $p(m) - p(2)$ no involucra a $c,$ cada par válido $(a, b)$ aporta $41$ polinomios. Factorizando, $\begin{aligned} p(x) - p(2) &= (x - 2) \\ &\quad {}\cdot \tiny \bigl(x^2 + (a+2)x + (2a + b + 4)\bigr), \end{aligned}$ así que necesitamos que el factor cuadrático $q(x)$ tenga exactamente una raíz entera distinta de $2.$ Si $q$ tiene alguna raíz entera, su otra raíz también es entera (su suma $-(a+2)$ es un entero); si $q$ no tiene raíz entera, entonces no existe ningún $m$ en absoluto. Así que o bien $q$ tiene raíces $2$ y $k$ con $k \ne 2,$ o una raíz doble $k \ne 2.$

Raíces $2$ y $k:$ las fórmulas de Vieta dan $a = -4 - k$ y $b = 4k + 4.$ La restricción $-20 \le b \le 20$ obliga a $-6 \le k \le 4$ (y entonces $a$ queda automáticamente dentro del rango), así que excluir $k = 2$ deja $10$ pares. Raíz doble $k:$ aquí $a = -2k - 2$ y $b = k^2 + 4k,$ y $b \le 20$ obliga a $-6 \le k \le 2,$ todos válidos para $a,$ así que excluir $k = 2$ deja $8$ pares.

Eso son $18$ pares $(a, b),$ por lo tanto $18 \cdot 41 = 738$ polinomios.

Since $p(m) - p(2)$ does not involve $c,$ each valid pair $(a, b)$ contributes $41$ polynomials. Factoring, $\begin{aligned} p(x) - p(2) &= (x - 2) \\ &\quad {}\cdot \tiny \bigl(x^2 + (a+2)x + (2a + b + 4)\bigr), \end{aligned}$ so we need the quadratic factor $q(x)$ to have exactly one integer root different from $2.$ If $q$ has any integer root, its other root is also an integer (their sum $-(a+2)$ is an integer); if $q$ has no integer root, then no $m$ exists at all. So either $q$ has roots $2$ and $k$ with $k \ne 2,$ or a double root $k \ne 2.$

Roots $2$ and $k:$ Vieta's formulas give $a = -4 - k$ and $b = 4k + 4.$ The constraint $-20 \le b \le 20$ forces $-6 \le k \le 4$ (and then $a$ is automatically in range), so excluding $k = 2$ leaves $10$ pairs. Double root $k:$ here $a = -2k - 2$ and $b = k^2 + 4k,$ and $b \le 20$ forces $-6 \le k \le 2,$ all valid for $a,$ so excluding $k = 2$ leaves $8$ pairs.

That is $18$ pairs $(a, b),$ hence $18 \cdot 41 = 738$ polynomials.

10.

Existe un único entero positivo $a$ para el cual la suma $U = \sum_{n=1}^{2023} \left\lfloor \frac{n^2 - na}{5} \right\rfloor$ es un entero estrictamente entre $-1000$ y $1000.$ Para ese único $a,$ halla $a + U.$

(Observa que $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

There exists a unique positive integer $a$ for which the sum $U = \sum_{n=1}^{2023} \left\lfloor \frac{n^2 - na}{5} \right\rfloor$ is an integer strictly between $-1000$ and $1000.$ For that unique $a,$ find $a + U.$

(Note that $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Respuesta: 944

Conceptos:funciones piso y techo sumatoria aritmética modular

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Ignorando las partes enteras, $\sum_{n=1}^{2023} \frac{n^2 - na}{5}$ $= \frac{1}{5}\left(\sum n^2 - a\sum n\right)$ se anula exactamente cuando $a = \frac{\sum n^2}{\sum n} = \frac{2 \cdot 2023 + 1}{3} = 1349,$ un entero. Para cualquier otro entero $a$ la suma sin redondear tiene valor absoluto de al menos $\frac{1}{5}\sum n = \frac{2023 \cdot 1012}{5} \approx 409455,$ mientras que tomar las partes enteras cambia el total en menos de $2023,$ así que solo $a = 1349$ puede poner $U$ estrictamente entre $-1000$ y $1000.$

Con $a = 1349,$ cada término es $\frac{n^2 - 1349n - r_n}{5}$ con $r_n = (n^2 - 1349n) \bmod 5,$ así que $U = -\frac{1}{5}\sum r_n.$ Como $1349 \equiv 4 \pmod 5,$ tenemos $n^2 - 1349n$ $\equiv n(n+1) \pmod 5,$ cuyos restos para $n \equiv 0, 1, 2, 3, 4$ son $0, 2, 1, 2, 0,$ que suman $5$ por cada bloque de cinco. Como $2023 = 5 \cdot 404 + 3,$ los términos sobrantes $n \equiv 1, 2, 3$ aportan $2 + 1 + 2 = 5,$ así que $\sum r_n = 405 \cdot 5 = 2025.$

Así que $U = -\frac{2025}{5} = -405,$ que efectivamente está estrictamente entre $-1000$ y $1000,$ y $a + U = 1349 - 405 = 944.$

Ignoring the floors, $\sum_{n=1}^{2023} \frac{n^2 - na}{5}$ $= \frac{1}{5}\left(\sum n^2 - a\sum n\right)$ vanishes exactly when $a = \frac{\sum n^2}{\sum n} = \frac{2 \cdot 2023 + 1}{3} = 1349,$ an integer. For any other integer $a$ the raw sum has absolute value at least $\frac{1}{5}\sum n = \frac{2023 \cdot 1012}{5} \approx 409455,$ while taking floors changes the total by less than $2023,$ so only $a = 1349$ can put $U$ strictly between $-1000$ and $1000.$

With $a = 1349,$ each term is $\frac{n^2 - 1349n - r_n}{5}$ with $r_n = (n^2 - 1349n) \bmod 5,$ so $U = -\frac{1}{5}\sum r_n.$ Since $1349 \equiv 4 \pmod 5,$ we have $n^2 - 1349n$ $\equiv n(n+1) \pmod 5,$ whose residues for $n \equiv 0, 1, 2, 3, 4$ are $0, 2, 1, 2, 0,$ summing to $5$ per block of five. With $2023 = 5 \cdot 404 + 3,$ the leftover terms $n \equiv 1, 2, 3$ contribute $2 + 1 + 2 = 5,$ so $\sum r_n = 405 \cdot 5 = 2025.$

So $U = -\frac{2025}{5} = -405,$ which indeed lies strictly between $-1000$ and $1000,$ and $a + U = 1349 - 405 = 944.$

11.

Halla el número de subconjuntos de $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ que contienen exactamente un par de enteros consecutivos. Ejemplos de tales subconjuntos son $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}, 5\}$ y $\{1, 3, \mathbf{6}, \mathbf{7}, 10\}.$

Find the number of subsets of $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ that contain exactly one pair of consecutive integers. Examples of such subsets are $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}, 5\}$ and $\{1, 3, \mathbf{6}, \mathbf{7}, 10\}.$

Respuesta

Respuesta: 235

Conceptos:subconjuntos Fibonacci análisis por casos

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Primero, el número de subconjuntos de un bloque de $m$ enteros consecutivos que no contienen dos elementos consecutivos es el número de Fibonacci $F_{m+2}$ (con $F_1 = F_2 = 1$ ): condicionar según si el último elemento se usa da la recursión de Fibonacci, y los conteos empiezan $1, 2, 3, 5, \ldots$

Supón que el único par consecutivo es $\{k, k+1\}$ para algún $1 \le k \le 9.$ Los elementos restantes deben excluir $k - 1$ y $k + 2$ (cualquiera de ellos crearía un segundo par consecutivo) y no deben contener ningún par consecutivo dentro de $\{1, \ldots, k-2\}$ ni dentro de $\{k+3, \ldots, 10\},$ bloques de tamaños $k - 2$ y $8 - k.$ Así que el conteo para este $k$ es $F_k \cdot F_{10-k}.$

Sumando sobre $k = 1, \ldots, 9:$ $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{9} F_k F_{10-k} &= 34 + 21 + 26 \\ &\quad {}+ 24 + 25 + 24 \\ &\quad {}+ 26 + 21 + 34 \\ &= 235. \end{aligned}$

First, the number of subsets of a block of $m$ consecutive integers containing no two consecutive elements is the Fibonacci number $F_{m+2}$ (with $F_1 = F_2 = 1$ ): conditioning on whether the last element is used gives the Fibonacci recursion, and the counts start $1, 2, 3, 5, \ldots$

Suppose the unique consecutive pair is $\{k, k+1\}$ for some $1 \le k \le 9.$ The remaining elements must exclude $k - 1$ and $k + 2$ (either would create a second consecutive pair) and must contain no consecutive pair within $\{1, \ldots, k-2\}$ or within $\{k+3, \ldots, 10\},$ blocks of sizes $k - 2$ and $8 - k.$ So the count for this $k$ is $F_k \cdot F_{10-k}.$

Summing over $k = 1, \ldots, 9:$ $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{9} F_k F_{10-k} &= 34 + 21 + 26 \\ &\quad {}+ 24 + 25 + 24 \\ &\quad {}+ 26 + 21 + 34 \\ &= 235. \end{aligned}$

12.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero de lado $55.$ Los puntos $D,$ $E,$ y $F$ están sobre $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ y $\overline{AB},$ respectivamente, con $BD = 7,$ $CE = 30,$ y $AF = 40.$ El punto $P$ dentro de $\triangle ABC$ tiene la propiedad de que $\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP.$ Halla $\tan^2(\angle AEP).$

Let $\triangle ABC$ be an equilateral triangle with side length $55.$ Points $D,$ $E,$ and $F$ lie on $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ and $\overline{AB},$ respectively, with $BD = 7,$ $CE = 30,$ and $AF = 40.$ Point $P$ inside $\triangle ABC$ has the property that $\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP.$ Find $\tan^2(\angle AEP).$

Respuesta

Respuesta: 75

Conceptos:triángulo equilátero Teorema de Viviani vector trigonometría

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Coloca $B = (0, 0),$ $C = (55, 0),$ $A = \left(\frac{55}{2}, \frac{55\sqrt{3}}{2}\right),$ de modo que $D = (7, 0),$ $E = (40, 15\sqrt{3}),$ y $F = \left(\frac{15}{2}, \frac{15\sqrt{3}}{2}\right).$ Sea $\theta$ el ángulo común y sean $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3$ los vectores unitarios en las direcciones $C \to A,$ $A \to B,$ $B \to C,$ es decir, las direcciones desde $E$ hacia $A,$ desde $F$ hacia $B,$ y desde $D$ hacia $C.$ Descomponiendo $P - E$ en su componente a lo largo de $\mathbf{u}_1$ y su componente perpendicular al lado $CA,$ cuya longitud es la distancia $d_1$ de $P$ a la recta $CA,$ la condición angular da $(P - E)\cdot\mathbf{u}_1 = d_1\cot\theta;$ de forma similar $(P - F)\cdot\mathbf{u}_2 = d_2\cot\theta$ y $(P - D)\cdot\mathbf{u}_3 = d_3\cot\theta.$

Ahora suma las tres relaciones. Como $\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 + \mathbf{u}_3 = \mathbf{0}$ (los lados dirigidos de un triángulo se cierran), $P$ desaparece, y por el teorema de Viviani $d_1 + d_2 + d_3$ es igual a la altura $\frac{55\sqrt{3}}{2}.$ Con $\mathbf{u}_1 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $\mathbf{u}_2 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ y $\mathbf{u}_3 = (1, 0),$ obtenemos $E \cdot \mathbf{u}_1 = \frac{5}{2},$ $F \cdot \mathbf{u}_2 = -15,$ y $D \cdot \mathbf{u}_3 = 7,$ así que $\begin{aligned} \frac{55\sqrt{3}}{2}\,\cot\theta &= -\left(\frac{5}{2} - 15 + 7\right) \\ &= \frac{11}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto $\cot\theta = \frac{11}{55\sqrt{3}} = \frac{1}{5\sqrt{3}},$ así que $\tan^2(\angle AEP) = \left(5\sqrt{3}\right)^2 = 75.$

Place $B = (0, 0),$ $C = (55, 0),$ $A = \left(\frac{55}{2}, \frac{55\sqrt{3}}{2}\right),$ so that $D = (7, 0),$ $E = (40, 15\sqrt{3}),$ and $F = \left(\frac{15}{2}, \frac{15\sqrt{3}}{2}\right).$ Let $\theta$ be the common angle and let $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3$ be the unit vectors in the directions $C \to A,$ $A \to B,$ $B \to C$ — the directions from $E$ toward $A,$ from $F$ toward $B,$ and from $D$ toward $C.$ Splitting $P - E$ into its component along $\mathbf{u}_1$ and its component perpendicular to side $CA,$ whose length is the distance $d_1$ from $P$ to line $CA,$ the angle condition gives $(P - E)\cdot\mathbf{u}_1 = d_1\cot\theta;$ similarly $(P - F)\cdot\mathbf{u}_2 = d_2\cot\theta$ and $(P - D)\cdot\mathbf{u}_3 = d_3\cot\theta.$

Now add all three relations. Since $\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 + \mathbf{u}_3 = \mathbf{0}$ (the directed sides of a triangle close up), $P$ drops out, and by Viviani's theorem $d_1 + d_2 + d_3$ equals the height $\frac{55\sqrt{3}}{2}.$ With $\mathbf{u}_1 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $\mathbf{u}_2 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ and $\mathbf{u}_3 = (1, 0),$ we get $E \cdot \mathbf{u}_1 = \frac{5}{2},$ $F \cdot \mathbf{u}_2 = -15,$ and $D \cdot \mathbf{u}_3 = 7,$ so $\begin{aligned} \frac{55\sqrt{3}}{2}\,\cot\theta &= -\left(\frac{5}{2} - 15 + 7\right) \\ &= \frac{11}{2}. \end{aligned}$

Hence $\cot\theta = \frac{11}{55\sqrt{3}} = \frac{1}{5\sqrt{3}},$ so $\tan^2(\angle AEP) = \left(5\sqrt{3}\right)^2 = 75.$

13.

Cada cara de dos paralelepípedos no congruentes es un rombo cuyas diagonales tienen longitudes $\sqrt{21}$ y $\sqrt{31}.$ La razón entre el volumen del mayor de los dos poliedros y el volumen del menor es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$ Un paralelepípedo es un sólido con seis caras paralelogramas como el que se muestra a continuación.

Each face of two noncongruent parallelepipeds is a rhombus whose diagonals have lengths $\sqrt{21}$ and $\sqrt{31}.$ The ratio of the volume of the larger of the two polyhedra to the volume of the smaller is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$ A parallelepiped is a solid with six parallelogram faces such as the one shown below.

Respuesta

Respuesta: 125

Conceptos:vector determinante volumen

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Un rombo con diagonales $\sqrt{21}$ y $\sqrt{31}$ tiene lado $\sqrt{\frac{21}{4} + \frac{31}{4}} = \sqrt{13},$ así que los tres vectores de arista $\mathbf{u},$ $\mathbf{v},$ $\mathbf{w}$ tienen todos longitud al cuadrado $13.$ En la cara generada por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ las diagonales son $\mathbf{u} \pm \mathbf{v},$ con $|\mathbf{u} \pm \mathbf{v}|^2 = 26 \pm 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v};$ al hacer corresponder con $\{21, 31\}$ se obtiene $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \pm\frac{5}{2},$ y análogamente para los otros dos pares.

El volumen al cuadrado es el determinante de Gram $\begin{aligned} V^2 &= \det\begin{pmatrix} 13 & x & y \\ x & 13 & z \\ y & z & 13 \end{pmatrix} \\ &= 2197 - 13(x^2 + y^2 + z^2) \\ &\quad {}+ 2xyz \\ &= 2197 - \frac{975}{4} \\ &\quad {}+ 2xyz \end{aligned}$ con $x, y, z \in \left\{\pm\frac{5}{2}\right\}.$ Negar un vector de arista invierte los signos de dos de $x, y, z,$ así que solo importa el signo de $xyz$ : $2xyz = \pm\frac{125}{4},$ dando $V^2 = \frac{7938}{4}$ o $\frac{7688}{4}.$

La razón de los volúmenes es $\sqrt{\frac{7938}{7688}} = \sqrt{\frac{3969}{3844}} = \frac{63}{62},$ ya en su forma más simple, así que $m + n = 63 + 62 = 125.$

A rhombus with diagonals $\sqrt{21}$ and $\sqrt{31}$ has side $\sqrt{\frac{21}{4} + \frac{31}{4}} = \sqrt{13},$ so the three edge vectors $\mathbf{u},$ $\mathbf{v},$ $\mathbf{w}$ all have squared length $13.$ In the face spanned by $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ the diagonals are $\mathbf{u} \pm \mathbf{v},$ with $|\mathbf{u} \pm \mathbf{v}|^2 = 26 \pm 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v};$ matching $\{21, 31\}$ gives $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \pm\frac{5}{2},$ and likewise for the other two pairs.

The squared volume is the Gram determinant $\begin{aligned} V^2 &= \det\begin{pmatrix} 13 & x & y \\ x & 13 & z \\ y & z & 13 \end{pmatrix} \\ &= 2197 - 13(x^2 + y^2 + z^2) \\ &\quad {}+ 2xyz \\ &= 2197 - \frac{975}{4} \\ &\quad {}+ 2xyz \end{aligned}$ with $x, y, z \in \left\{\pm\frac{5}{2}\right\}.$ Negating an edge vector flips the signs of two of $x, y, z,$ so only the sign of $xyz$ matters: $2xyz = \pm\frac{125}{4},$ giving $V^2 = \frac{7938}{4}$ or $\frac{7688}{4}.$

The ratio of the volumes is $\sqrt{\frac{7938}{7688}} = \sqrt{\frac{3969}{3844}} = \frac{63}{62},$ already in lowest terms, so $m + n = 63 + 62 = 125.$

14.

El siguiente reloj analógico tiene dos manecillas que pueden moverse independientemente una de la otra.

Inicialmente, ambas manecillas apuntan al número $12.$ El reloj realiza una secuencia de movimientos de manecillas de modo que en cada movimiento, una de las dos manecillas se mueve en el sentido de las agujas del reloj hasta el siguiente número de la esfera mientras que la otra manecilla no se mueve.

Sea $N$ el número de secuencias de $144$ movimientos de manecillas tales que, durante la secuencia, cada posible posición de las manecillas aparece exactamente una vez, y al final de los $144$ movimientos, las manecillas han regresado a su posición inicial. Halla el resto cuando $N$ se divide entre $1000.$

The following analog clock has two hands that can move independently of each other.

Initially, both hands point to the number $12.$ The clock performs a sequence of hand movements so that on each movement, one of the two hands moves clockwise to the next number on the clock face while the other hand does not move.

Let $N$ be the number of sequences of $144$ hand movements such that during the sequence, every possible positioning of the hands appears exactly once, and at the end of the $144$ movements, the hands have returned to their initial position. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 608

Conceptos:teoría de grafos aritmética modular combinaciones

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Registra las manecillas como un par ordenado $(a, b) \in \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{12};$ cada movimiento reemplaza $(a, b)$ por $(a+1, b)$ o $(a, b+1),$ así que una secuencia válida es un recorrido cerrado por las $144$ posiciones; de forma equivalente, una elección, en cada posición, de qué manecilla se mueve a continuación. Ordena las posiciones en $12$ filas según $b,$ y sea $S_b \subseteq \mathbb{Z}_{12}$ el conjunto de valores de $a$ en los que el recorrido abandona la fila $b$ (un $b$ -movimiento). Un $b$ -movimiento desde la fila $b - 1$ entra en la fila $b$ con el mismo valor de $a$ y el recorrido luego avanza por valores consecutivos de $a$ hasta su siguiente salida. Para que estos tramos cubran la fila $b$ exactamente una vez deben particionar $\mathbb{Z}_{12},$ lo que obliga a que cada punto de entrada esté un paso después de una salida: $S_{b-1} = S_b + 1.$ En particular, cada $S_b$ tiene el mismo tamaño $c,$ y $S_b = S_0 - b.$

Salir de la fila $b$ en su $i$ -ésima salida (en orden cíclico) conduce a un tramo que termina en la $(i+1)$ -ésima salida de la fila $b + 1:$ cada $b$ -movimiento aumenta el índice de fila en $1$ módulo $12$ y el índice de salida en $1$ módulo $c.$ Por lo tanto el recorrido se cierra tras $\operatorname{lcm}(12, c)$ $b$ -movimientos, mientras que un recorrido completo debe usar las $12c$ salidas, así que el recorrido es un solo ciclo por las $144$ posiciones precisamente cuando $\gcd(c, 12) = 1.$ Recíprocamente, cada elección de $S_0$ con $\gcd(|S_0|, 12) = 1$ produce exactamente una secuencia de movimientos válida desde la posición inicial.

Por lo tanto $\begin{aligned} N &= \binom{12}{1} + \binom{12}{5} \\ &\quad {}+ \binom{12}{7} + \binom{12}{11} \\ &= 12 + 792 + 792 \\ &\quad {}+ 12 = 1608, \end{aligned}$ y el resto cuando $N$ se divide entre $1000$ es $608.$

Record the hands as an ordered pair $(a, b) \in \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{12};$ each movement replaces $(a, b)$ by $(a+1, b)$ or $(a, b+1),$ so a valid sequence is a closed tour through all $144$ positions — equivalently, a choice, at each position, of which hand moves next. Sort the positions into $12$ rows according to $b,$ and let $S_b \subseteq \mathbb{Z}_{12}$ be the set of $a$ -values at which the tour leaves row $b$ (a $b$ -move). A $b$ -move from row $b - 1$ enters row $b$ at the same $a$ -value, and the tour then runs through consecutive $a$ -values until its next exit. For these runs to cover row $b$ exactly once they must partition $\mathbb{Z}_{12},$ which forces each entry point to sit one step past an exit: $S_{b-1} = S_b + 1.$ In particular every $S_b$ has the same size $c,$ and $S_b = S_0 - b.$

Leaving row $b$ at its $i$ -th exit (in cyclic order) leads to a run ending at the $(i+1)$ -st exit of row $b + 1:$ each $b$ -move advances the row index by $1$ modulo $12$ and the exit index by $1$ modulo $c.$ The tour therefore closes after $\operatorname{lcm}(12, c)$ $b$ -moves, while a full tour must use all $12c$ exits, so the tour is a single cycle through all $144$ positions precisely when $\gcd(c, 12) = 1.$ Conversely, every choice of $S_0$ with $\gcd(|S_0|, 12) = 1$ yields exactly one valid movement sequence from the starting position.

Hence $\begin{aligned} N &= \binom{12}{1} + \binom{12}{5} \\ &\quad {}+ \binom{12}{7} + \binom{12}{11} \\ &= 12 + 792 + 792 \\ &\quad {}+ 12 = 1608, \end{aligned}$ and the remainder when $N$ is divided by $1000$ is $608.$

15.

Halla el mayor número primo $p \lt 1000$ para el cual existe un número complejo $z$ que satisface

• la parte real y la parte imaginaria de $z$ son ambas enteras;

• $|z| = \sqrt{p},$ y

• existe un triángulo cuyas tres longitudes de lado son $p,$ la parte real de $z^3,$ y la parte imaginaria de $z^3.$

Find the largest prime number $p \lt 1000$ for which there exists a complex number $z$ satisfying

• the real and imaginary part of $z$ are both integers;

• $|z| = \sqrt{p},$ and

• there exists a triangle whose three side lengths are $p,$ the real part of $z^3,$ and the imaginary part of $z^3.$

Respuesta

Respuesta: 349

Conceptos:número complejo primo desigualdad triangular factorización

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Escribe $z = a + bi$ con $a^2 + b^2 = p,$ así que $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4,$ y el par $\{|a|, |b|\}$ es entonces único. Reemplazar $z$ por $\pm z,$ $\pm\bar{z},$ $\pm iz,$ $\pm i\bar{z}$ solo cambia las partes real e imaginaria de $z^3$ por signos e intercambios, así que podemos tomar $a \gt b \gt 0,$ y las dos longitudes de lado candidatas son $|\operatorname{Re} z^3|$ y $|\operatorname{Im} z^3|.$ Desarrollando $z^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i$ y factorizando, $\begin{aligned} &\operatorname{Re} z^3 + \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a - b)(p + 4ab), \qquad \\ &\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a + b)(p - 4ab). \end{aligned}$ El triángulo existe exactamente cuando $\bigl||\operatorname{Re}| - |\operatorname{Im}|\bigr| \lt p$ $\lt |\operatorname{Re}| + |\operatorname{Im}|,$ y esas dos cantidades son, en algún orden, los valores absolutos de arriba. Como $a \gt b$ obliga a $(a - b)(p + 4ab) \gt p,$ toda la condición se reduce a $(a + b)\,|p - 4ab| \lt p.$

Como $a + b \gt \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{p},$ esto requiere $|p - 4ab| \lt \sqrt{p} \lt 32:$ los productos $4ab$ y $a^2 + b^2$ deben casi coincidir. Revisando los primos $p \equiv 1 \pmod 4$ por debajo de $1000$ de mayor a menor, cada uno con su representación única (por ejemplo $997 = 31^2 + 6^2$ da $(a+b)|p - 4ab| = 37 \cdot 253,$ demasiado grande), la condición falla para todo primo mayor que $349$ y se cumple para $349 = 18^2 + 5^2,$ donde $(a + b)\,|p - 4ab|$ $= 23 \cdot |349 - 360|$ $= 253 \lt 349.$

En efecto, para $z = 18 + 5i$ obtenemos $z^3 = 4482 + 4735i,$ y las longitudes $349,$ $4482,$ $4735$ forman un triángulo válido. La respuesta es $349.$

Write $z = a + bi$ with $a^2 + b^2 = p,$ so $p = 2$ or $p \equiv 1 \pmod 4,$ and the pair $\{|a|, |b|\}$ is then unique. Replacing $z$ by $\pm z,$ $\pm\bar{z},$ $\pm iz,$ $\pm i\bar{z}$ only changes the real and imaginary parts of $z^3$ by signs and swaps, so we may take $a \gt b \gt 0,$ and the two candidate side lengths are $|\operatorname{Re} z^3|$ and $|\operatorname{Im} z^3|.$ Expanding $z^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i$ and factoring, $\begin{aligned} &\operatorname{Re} z^3 + \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a - b)(p + 4ab), \qquad \\ &\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a + b)(p - 4ab). \end{aligned}$ The triangle exists exactly when $\bigl||\operatorname{Re}| - |\operatorname{Im}|\bigr| \lt p$ $\lt |\operatorname{Re}| + |\operatorname{Im}|,$ and those two quantities are, in some order, the absolute values above. Since $a \gt b$ forces $(a - b)(p + 4ab) \gt p,$ the whole condition reduces to $(a + b)\,|p - 4ab| \lt p.$

Because $a + b \gt \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{p},$ this requires $|p - 4ab| \lt \sqrt{p} \lt 32:$ the products $4ab$ and $a^2 + b^2$ must nearly coincide. Checking the primes $p \equiv 1 \pmod 4$ below $1000$ from the top down, each with its unique representation (for instance $997 = 31^2 + 6^2$ gives $(a+b)|p - 4ab| = 37 \cdot 253,$ far too big), the condition fails for every prime greater than $349$ and holds for $349 = 18^2 + 5^2,$ where $(a + b)\,|p - 4ab|$ $= 23 \cdot |349 - 360|$ $= 253 \lt 349.$

Indeed for $z = 18 + 5i$ we get $z^3 = 4482 + 4735i,$ and the lengths $349,$ $4482,$ $4735$ form a valid triangle. The answer is $349.$

Problemas del 2023 AIME I

Respuesta: 191

Solución:

Respuesta: 881

Solución:

Respuesta: 607

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Respuesta: 12

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Respuesta: 106

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Respuesta: 51

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Respuesta: 49

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Respuesta: 125

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Respuesta: 738

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Respuesta: 125

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Respuesta: 608

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Respuesta: 349

Solución: