2007 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

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3:00:00

1.

Una organización matemática está produciendo un conjunto de matrículas conmemorativas. Cada matrícula contiene una secuencia de cinco caracteres elegidos entre las cuatro letras de AIME y los cuatro dígitos de $2007.$ Ningún carácter puede aparecer en una secuencia más veces de las que aparece entre las cuatro letras de AIME o los cuatro dígitos de $2007.$ Un conjunto de matrículas en el que cada secuencia posible aparece exactamente una vez contiene $N$ matrículas. ¿Cuánto vale $\frac{N}{10}$ ?

A mathematical organization is producing a set of commemorative license plates. Each plate contains a sequence of five characters chosen from the four letters in AIME and the four digits in $2007.$ No character may appear in a sequence more times than it appears among the four letters in AIME or the four digits in $2007.$ A set of plates in which each possible sequence appears exactly once contains $N$ license plates. Find $\frac{N}{10}.$

Respuesta

Respuesta: 372

Conceptos:permutaciones análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Los caracteres disponibles son los siete símbolos distintos A, I, M, E, $2,$ $0,$ $7,$ donde $0$ puede usarse hasta dos veces y cada uno de los demás a lo sumo una vez. Las secuencias que usan a lo sumo un $0$ constan de cinco caracteres distintos elegidos entre los siete, en orden: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520.$

Secuencias con dos $0$ : elige las dos posiciones para los $0$ de $\binom{5}{2} = 10$ maneras, y luego llena las tres posiciones restantes con caracteres distintos de los otros seis de $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ maneras, dando $1200$ secuencias.

Por lo tanto $N = 2520 + 1200 = 3720,$ y $\frac{N}{10} = 372.$

The available characters are the seven distinct symbols A, I, M, E, $2,$ $0,$ $7,$ where $0$ may be used up to twice and every other character at most once. Sequences using at most one $0$ consist of five distinct characters chosen from the seven, in order: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520.$

Sequences with two $0$ 's: choose the two positions for the $0$ 's in $\binom{5}{2} = 10$ ways, then fill the remaining three positions with distinct characters from the other six in $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ ways, for $1200$ sequences.

Thus $N = 2520 + 1200 = 3720,$ and $\frac{N}{10} = 372.$

2.

¿Cuántas ternas ordenadas $(a, b, c)$ hay, donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, $a$ es un factor de $b,$ $a$ es un factor de $c,$ y $a + b + c = 100$ ?

Find the number of ordered triples $(a, b, c)$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $a$ is a factor of $b,$ $a$ is a factor of $c,$ and $a + b + c = 100.$

Respuesta

Respuesta: 200

Conceptos:divisibilidad Ecuación diofántica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Como $a$ divide a $b$ y a $c,$ divide a $a + b + c = 100.$ Escribe $b = as$ y $c = at$ con $s, t \ge 1;$ entonces $a(1 + s + t) = 100,$ así que $s + t = \frac{100}{a} - 1.$ Para $s$ y $t$ positivos necesitamos $\frac{100}{a} \ge 3,$ por lo que $a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

Para cada tal $a,$ la ecuación $s + t = \frac{100}{a} - 1$ tiene $\frac{100}{a} - 2$ soluciones ordenadas positivas. Sumando, $\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200. \end{aligned}$

Since $a$ divides $b$ and $c,$ it divides $a + b + c = 100.$ Write $b = as$ and $c = at$ with $s, t \ge 1;$ then $a(1 + s + t) = 100,$ so $s + t = \frac{100}{a} - 1.$ For positive $s$ and $t$ we need $\frac{100}{a} \ge 3,$ so $a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

For each such $a,$ the equation $s + t = \frac{100}{a} - 1$ has $\frac{100}{a} - 2$ ordered positive solutions. Summing, $\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200. \end{aligned}$

3.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $13,$ y los puntos $E$ y $F$ son exteriores al cuadrado tales que $BE = DF = 5$ y $AE = CF = 12.$ ¿Cuánto vale $EF^2$ ?

Square $ABCD$ has side length $13,$ and points $E$ and $F$ are exterior to the square such that $BE = DF = 5$ and $AE = CF = 12.$ Find $EF^2.$

Respuesta

Respuesta: 578

Conceptos:Terna pitagórica congruencia (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ los triángulos $AEB$ y $CFD$ son rectángulos en $E$ y $F,$ y son congruentes (lados $5,$ $12,$ $13$ ). Prolonga $EA$ más allá de $A$ y $FD$ más allá de $D$ hasta que las dos rectas se corten en $G.$

Entonces $\angle GAD = 90^\circ$ $- \angle EAB = \angle ABE,$ y $\angle GDA = 90^\circ$ $- \angle FDC = \angle DCF$ $= \angle BAE.$ Estos dos ángulos suman $90^\circ,$ así que $\angle AGD = 90^\circ,$ y el triángulo $AGD$ es congruente con $BEA$ (ángulos iguales e hipotenusa $AD = BA = 13$ ). Por lo tanto $GA = EB = 5$ y $GD = EA = 12.$

Por lo tanto $GE = GA + AE = 5 + 12 = 17$ y $GF = GD + DF = 12 + 5 = 17,$ con un ángulo recto entre ellos en $G,$ así que $EF^2 = 17^2 + 17^2 = 578.$

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ triangles $AEB$ and $CFD$ are right-angled at $E$ and $F,$ and they are congruent (sides $5,$ $12,$ $13$ ). Extend $EA$ beyond $A$ and $FD$ beyond $D$ until the two lines meet at $G.$

Then $\angle GAD = 90^\circ$ $- \angle EAB = \angle ABE,$ and $\angle GDA = 90^\circ$ $- \angle FDC = \angle DCF$ $= \angle BAE.$ These two angles sum to $90^\circ,$ so $\angle AGD = 90^\circ,$ and triangle $AGD$ is congruent to $BEA$ (equal angles and hypotenuse $AD = BA = 13$ ). Hence $GA = EB = 5$ and $GD = EA = 12.$

Therefore $GE = GA + AE = 5 + 12 = 17$ and $GF = GD + DF = 12 + 5 = 17,$ with a right angle between them at $G,$ so $EF^2 = 17^2 + 17^2 = 578.$

4.

Los trabajadores de una fábrica producen widgets y whoosits. Para cada producto, el tiempo de producción es constante e idéntico para todos los trabajadores, pero no necesariamente igual para los dos productos. En una hora, $100$ trabajadores pueden producir $300$ widgets y $200$ whoosits. En dos horas, $60$ trabajadores pueden producir $240$ widgets y $300$ whoosits. En tres horas, $50$ trabajadores pueden producir $150$ widgets y $m$ whoosits. ¿Cuánto vale $m$ ?

The workers in a factory produce widgets and whoosits. For each product, production time is constant and identical for all workers, but not necessarily equal for the two products. In one hour, $100$ workers can produce $300$ widgets and $200$ whoosits. In two hours, $60$ workers can produce $240$ widgets and $300$ whoosits. In three hours, $50$ workers can produce $150$ widgets and $m$ whoosits. Find $m.$

Respuesta

Respuesta: 450

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Sean $a$ y $b$ las horas-trabajador necesarias para hacer un widget y un whoosit. Los tres escenarios aportan $100,$ $120,$ y $150$ horas-trabajador, así que $\begin{aligned} 300a + 200b &= 100, \\ 240a + 300b &= 120, \\ 150a + mb &= 150. \end{aligned}$

Las dos primeras ecuaciones se simplifican a $3a + 2b = 1$ y $4a + 5b = 2,$ dando $a = \frac{1}{7}$ y $b = \frac{2}{7}.$ Sustituyendo en la tercera, $\frac{150}{7} + \frac{2m}{7} = 150,$ así que $150 + 2m = 1050$ y $m = 450.$

Let $a$ and $b$ be the worker-hours required to make one widget and one whoosit. The three scenarios supply $100,$ $120,$ and $150$ worker-hours, so $\begin{aligned} 300a + 200b &= 100, \\ 240a + 300b &= 120, \\ 150a + mb &= 150. \end{aligned}$

The first two equations simplify to $3a + 2b = 1$ and $4a + 5b = 2,$ giving $a = \frac{1}{7}$ and $b = \frac{2}{7}.$ Substituting into the third, $\frac{150}{7} + \frac{2m}{7} = 150,$ so $150 + 2m = 1050$ and $m = 450.$

5.

La gráfica de la ecuación $9x + 223y = 2007$ se dibuja en papel cuadriculado, donde cada cuadrito representa una unidad en cada dirección. ¿Cuántos de los cuadritos $1$ por $1$ del papel tienen su interior completamente por debajo de la gráfica y completamente en el primer cuadrante?

The graph of the equation $9x + 223y = 2007$ is drawn on graph paper with each square representing one unit in each direction. How many of the $1$ by $1$ graph paper squares have interiors lying entirely below the graph and entirely in the first quadrant?

Respuesta

Respuesta: 888

Conceptos:punto reticular máximo común divisor simetría

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

La recta corta a los ejes en $(223, 0)$ y $(0, 9),$ así que todos los cuadritos que cumplen la condición están dentro del rectángulo $223 \times 9,$ que contiene $223 \cdot 9 = 2007$ cuadritos unitarios. Como $\gcd(9, 223) = 1,$ el segmento no pasa por ningún punto reticular interior; cruza $222$ rectas verticales interiores y $8$ rectas horizontales interiores, entrando en un cuadrito nuevo en cada cruce, así que pasa por el interior de $223 + 9 - 1 = 231$ cuadritos.

Los otros $2007 - 231 = 1776$ cuadritos quedan completamente por encima o completamente por debajo del segmento. El punto medio del segmento $\left(\frac{223}{2}, \frac{9}{2}\right)$ es el centro del rectángulo, así que rotar $180^\circ$ alrededor de él intercambia los dos grupos. Por lo tanto exactamente la mitad de ellos, $888,$ están por debajo de la gráfica.

The line meets the axes at $(223, 0)$ and $(0, 9),$ so all qualifying squares lie inside the $223 \times 9$ rectangle, which contains $223 \cdot 9 = 2007$ unit squares. Because $\gcd(9, 223) = 1,$ the segment passes through no interior lattice point; it crosses $222$ interior vertical lines and $8$ interior horizontal lines, entering a new square at each crossing, so it passes through the interiors of $223 + 9 - 1 = 231$ squares.

The other $2007 - 231 = 1776$ squares lie entirely above or entirely below the segment. The segment's midpoint $\left(\frac{223}{2}, \frac{9}{2}\right)$ is the center of the rectangle, so rotating by $180^\circ$ about it swaps the two groups. Hence exactly half of them, $888,$ lie below the graph.

6.

Un entero se llama de paridad monótona si su representación decimal $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ cumple $a_i \lt a_{i+1}$ cuando $a_i$ es impar, y $a_i \gt a_{i+1}$ cuando $a_i$ es par. ¿Cuántos enteros de cuatro dígitos de paridad monótona hay?

An integer is called parity-monotonic if its decimal representation $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ satisfies $a_i \lt a_{i+1}$ if $a_i$ is odd, and $a_i \gt a_{i+1}$ if $a_i$ is even. How many four-digit parity-monotonic integers are there?

Respuesta

Respuesta: 640

Conceptos:dígitos paridad principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Un dígito $a_i$ puede preceder inmediatamente a $a_{i+1} = d$ exactamente cuando $a_i$ es impar y menor que $d,$ o par y mayor que $d.$ Revisando cada $d$ de $0$ a $9,$ esto siempre permite exactamente $4$ dígitos: por ejemplo, $d = 0$ admite $2, 4, 6, 8;$ $d = 4$ admite $1, 3, 6, 8;$ $d = 9$ admite $1, 3, 5, 7.$ (Aumentar $d$ en $1$ cambia opciones impares por pares, manteniendo el total en $4.$ ) Nótese que $0$ nunca es un predecesor permitido, ya que $0$ es par pero no supera a ningún dígito.

Así que elige el último dígito $a_4$ de $10$ maneras, y luego cada uno de $a_3,$ $a_2,$ $a_1$ de $4$ maneras; el dígito inicial es automáticamente distinto de cero. El total es $4^3 \cdot 10 = 640.$

A digit $a_i$ may immediately precede $a_{i+1} = d$ exactly when $a_i$ is odd and less than $d,$ or even and greater than $d.$ Checking each $d$ from $0$ to $9,$ this always allows exactly $4$ digits: for example, $d = 0$ allows $2, 4, 6, 8;$ $d = 4$ allows $1, 3, 6, 8;$ $d = 9$ allows $1, 3, 5, 7.$ (Raising $d$ by $1$ trades odd choices for even ones, keeping the total at $4.$ ) Note that $0$ is never an allowed predecessor, since $0$ is even but exceeds no digit.

So choose the last digit $a_4$ in $10$ ways, then each of $a_3,$ $a_2,$ $a_1$ in $4$ ways; the leading digit is automatically nonzero. The count is $4^3 \cdot 10 = 640.$

7.

Dado un número real $x,$ sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ Para cierto entero $k,$ hay exactamente $70$ enteros positivos $n_1,$ $n_2, \ldots,$ $n_{70}$ tales que $\begin{aligned} k &= \lfloor\sqrt[3]{n_1}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_2}\rfloor \\ &= \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor \end{aligned}$ y $k$ divide a $n_i$ para todo $i$ tal que $1 \le i \le 70.$ ¿Cuál es el valor máximo de $\frac{n_i}{k}$ para $1 \le i \le 70$ ?

Given a real number $x,$ let $\lfloor x \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ For a certain integer $k,$ there are exactly $70$ positive integers $n_1,$ $n_2, \ldots,$ $n_{70}$ such that $\begin{aligned} k &= \lfloor\sqrt[3]{n_1}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_2}\rfloor \\ &= \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor \end{aligned}$ and $k$ divides $n_i$ for all $i$ such that $1 \le i \le 70.$ Find the maximum value of $\frac{n_i}{k}$ for $1 \le i \le 70.$

Respuesta

Respuesta: 553

Conceptos:funciones piso y techo múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

La condición $\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k$ significa $k^3 \le n \lt (k+1)^3$ $= k^3 + 3k^2 + 3k + 1.$ Los múltiplos de $k$ en este rango son $k \cdot k^2,$ $k(k^2 + 1), \ldots,$ $k(k^2 + 3k + 3),$ así que hay exactamente $3k + 4$ de ellos.

Poner $3k + 4 = 70$ da $k = 22.$ El máximo de $\frac{n_i}{k}$ es $k^2 + 3k + 3 = 484 + 66 + 3$ $= 553.$

The condition $\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k$ means $k^3 \le n \lt (k+1)^3$ $= k^3 + 3k^2 + 3k + 1.$ The multiples of $k$ in this range are $k \cdot k^2,$ $k(k^2 + 1), \ldots,$ $k(k^2 + 3k + 3),$ so there are exactly $3k + 4$ of them.

Setting $3k + 4 = 70$ gives $k = 22.$ The maximum of $\frac{n_i}{k}$ is $k^2 + 3k + 3 = 484 + 66 + 3$ $= 553.$

8.

Una hoja rectangular de papel mide $4$ unidades por $5$ unidades. Se dibujan varias líneas paralelas a los bordes del papel. Un rectángulo determinado por las intersecciones de algunas de estas líneas se llama básico si (i) los cuatro lados del rectángulo son segmentos de líneas dibujadas, y (ii) ningún segmento de línea dibujada queda dentro del rectángulo.

Dado que la longitud total de todas las líneas dibujadas es exactamente $2007$ unidades, sea $N$ el máximo número posible de rectángulos básicos determinados. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ ?

A rectangular piece of paper measures $4$ units by $5$ units. Several lines are drawn parallel to the edges of the paper. A rectangle determined by the intersections of some of these lines is called basic if (i) all four sides of the rectangle are segments of drawn line segments, and (ii) no segments of drawn lines lie inside the rectangle.

Given that the total length of all lines drawn is exactly $2007$ units, let $N$ be the maximum possible number of basic rectangles determined. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 896

Conceptos:optimización cuadrática aritmética modular

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Supón que $h$ de las líneas dibujadas tienen longitud $4$ y $v$ tienen longitud $5,$ de modo que $4h + 5v = 2007.$ Un rectángulo básico está limitado por dos líneas adyacentes en cada dirección, así que las líneas determinan $(h - 1)(v - 1)$ rectángulos básicos. Poniendo $x = h - 1$ y $y = v - 1,$ debemos maximizar $xy$ sujeto a $4x + 5y = 1998.$

Como función de $x,$ el producto $xy = x \cdot \frac{1998 - 4x}{5}$ es una parábola hacia abajo con vértice en $x = \frac{999}{4} = 249.75.$ Para que $y$ sea entero necesitamos $4x \equiv 1998 \pmod 5,$ es decir $x \equiv 2 \pmod 5.$ Los candidatos más cercanos son $x = 247$ (que da $y = 202$ y producto $49894$ ) y $x = 252$ (que da $y = 198$ y producto $49896$ ).

Así que $N = 49896,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $896.$

Suppose $h$ of the drawn lines have length $4$ and $v$ have length $5,$ so $4h + 5v = 2007.$ A basic rectangle is bounded by two adjacent lines in each direction, so the lines determine $(h - 1)(v - 1)$ basic rectangles. Setting $x = h - 1$ and $y = v - 1,$ we must maximize $xy$ subject to $4x + 5y = 1998.$

As a function of $x,$ the product $xy = x \cdot \frac{1998 - 4x}{5}$ is a downward parabola with vertex at $x = \frac{999}{4} = 249.75.$ For $y$ to be an integer we need $4x \equiv 1998 \pmod 5,$ i.e. $x \equiv 2 \pmod 5.$ The nearest candidates are $x = 247$ (giving $y = 202$ and product $49894$ ) and $x = 252$ (giving $y = 198$ and product $49896$ ).

So $N = 49896,$ and the remainder upon division by $1000$ is $896.$

9.

Se da el rectángulo $ABCD$ con $AB = 63$ y $BC = 448.$ Los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ respectivamente, tales que $AE = CF = 84.$ La circunferencia inscrita del triángulo $BEF$ es tangente a $\overline{EF}$ en el punto $P,$ y la circunferencia inscrita del triángulo $DEF$ es tangente a $\overline{EF}$ en el punto $Q.$ ¿Cuánto vale $PQ$ ?

Rectangle $ABCD$ is given with $AB = 63$ and $BC = 448.$ Points $E$ and $F$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ respectively, such that $AE = CF = 84.$ The inscribed circle of triangle $BEF$ is tangent to $\overline{EF}$ at point $P,$ and the inscribed circle of triangle $DEF$ is tangent to $\overline{EF}$ at point $Q.$ Find $PQ.$

Respuesta

Respuesta: 259

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Coloca $A = (0, 0),$ $B = (63, 0),$ $C = (63, 448),$ $D = (0, 448),$ de modo que $E = (0, 84)$ y $F = (63, 364).$ Entonces $BE = DF = \sqrt{63^2 + 84^2}$ $= 21\sqrt{3^2 + 4^2} = 105,$ $BF = DE = 448 - 84 = 364,$ y $EF = \sqrt{63^2 + 280^2}$ $= 7\sqrt{9^2 + 40^2} = 287.$ En particular los triángulos $BEF$ y $DFE$ son congruentes, con semiperímetro común $s = \frac{105 + 364 + 287}{2} = 378.$

En cualquier triángulo, la distancia de un vértice a los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita sobre sus dos lados es el semiperímetro menos el lado opuesto. En el triángulo $BEF,$ $EP = s - BF$ $= 378 - 364 = 14;$ en el triángulo $DEF,$ $FQ = s - DE$ $= 378 - 364 = 14.$

Por lo tanto $PQ = EF - EP - FQ$ $= 287 - 14 - 14 = 259.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (63, 0),$ $C = (63, 448),$ $D = (0, 448),$ so $E = (0, 84)$ and $F = (63, 364).$ Then $BE = DF = \sqrt{63^2 + 84^2}$ $= 21\sqrt{3^2 + 4^2} = 105,$ $BF = DE = 448 - 84 = 364,$ and $EF = \sqrt{63^2 + 280^2}$ $= 7\sqrt{9^2 + 40^2} = 287.$ In particular triangles $BEF$ and $DFE$ are congruent, with common semiperimeter $s = \frac{105 + 364 + 287}{2} = 378.$

In any triangle, the distance from a vertex to the incircle's tangency points on its two sides is the semiperimeter minus the opposite side. In triangle $BEF,$ $EP = s - BF$ $= 378 - 364 = 14;$ in triangle $DEF,$ $FQ = s - DE$ $= 378 - 364 = 14.$

Therefore $PQ = EF - EP - FQ$ $= 287 - 14 - 14 = 259.$

10.

Sea $S$ un conjunto con seis elementos. Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los subconjuntos de $S.$ Los subconjuntos $A$ y $B$ de $S,$ no necesariamente distintos, se eligen de forma independiente y al azar de $\mathcal{P}.$ La probabilidad de que $B$ esté contenido en al menos uno de $A$ o $S - A$ es $\frac{m}{n^r},$ donde $m,$ $n,$ y $r$ son enteros positivos, $n$ es primo, y $m$ y $n$ son primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n + r$ ? (El conjunto $S - A$ es el conjunto de todos los elementos de $S$ que no están en $A.$ )

Let $S$ be a set with six elements. Let $\mathcal{P}$ be the set of all subsets of $S.$ Subsets $A$ and $B$ of $S,$ not necessarily distinct, are chosen independently and at random from $\mathcal{P}.$ The probability that $B$ is contained in at least one of $A$ or $S - A$ is $\frac{m}{n^r},$ where $m,$ $n,$ and $r$ are positive integers, $n$ is prime, and $m$ and $n$ are relatively prime. Find $m + n + r.$ (The set $S - A$ is the set of all elements of $S$ which are not in $A.$ )

Respuesta

Respuesta: 710

Conceptos:subconjuntos probabilidad básica inclusión-exclusión teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Fija $A$ con $|A| = k.$ Hay $2^k$ subconjuntos $B \subseteq A$ y $2^{6-k}$ subconjuntos $B \subseteq S - A,$ y solo el conjunto vacío se cuenta dos veces, así que $2^k + 2^{6-k} - 1$ elecciones de $B$ tienen éxito. Como hay $\binom{6}{k}$ conjuntos $A$ de tamaño $k$ y $2^6$ elecciones para cada uno de $A$ y $B,$ la probabilidad es $\begin{aligned} &\frac{1}{2^{12}}\sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k}\left(2^k + 2^{6-k} - 1\right) \\ &= \frac{2 \cdot 3^6 - 2^6}{2^{12}}, \end{aligned}$ usando $\sum_k \binom{6}{k} 2^k = \sum_k \binom{6}{k} 2^{6-k}$ $= (1+2)^6 = 3^6.$

Esto se simplifica a $\frac{3^6 - 2^5}{2^{11}} = \frac{697}{2^{11}}.$ Como $697 = 17 \cdot 41$ es impar, tomamos $m = 697,$ $n = 2,$ $r = 11,$ y $m + n + r = 710.$

Fix $A$ with $|A| = k.$ There are $2^k$ subsets $B \subseteq A$ and $2^{6-k}$ subsets $B \subseteq S - A,$ and only the empty set is counted twice, so $2^k + 2^{6-k} - 1$ choices of $B$ succeed. Since there are $\binom{6}{k}$ sets $A$ of size $k$ and $2^6$ choices for each of $A$ and $B,$ the probability is $\begin{aligned} &\frac{1}{2^{12}}\sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k}\left(2^k + 2^{6-k} - 1\right) \\ &= \frac{2 \cdot 3^6 - 2^6}{2^{12}}, \end{aligned}$ using $\sum_k \binom{6}{k} 2^k = \sum_k \binom{6}{k} 2^{6-k}$ $= (1+2)^6 = 3^6.$

This simplifies to $\frac{3^6 - 2^5}{2^{11}} = \frac{697}{2^{11}}.$ Since $697 = 17 \cdot 41$ is odd, we take $m = 697,$ $n = 2,$ $r = 11,$ and $m + n + r = 710.$

11.

Dos tubos cilíndricos largos de la misma longitud pero distinto diámetro están paralelos entre sí sobre una superficie plana. El tubo más grande tiene radio $72$ y rueda por la superficie hacia el tubo más pequeño, que tiene radio $24.$ Rueda por encima del tubo más pequeño y sigue rodando por la superficie plana hasta que se detiene apoyado en el mismo punto de su circunferencia por el que empezó, habiendo dado una vuelta completa. Si el tubo más pequeño nunca se mueve, y la rodadura ocurre sin deslizamiento, el tubo más grande termina a una distancia $x$ de donde empezó. La distancia $x$ puede expresarse en la forma $a\pi + b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Two long cylindrical tubes of the same length but different diameters lie parallel to each other on a flat surface. The larger tube has radius $72$ and rolls along the surface toward the smaller tube, which has radius $24.$ It rolls over the smaller tube and continues rolling along the flat surface until it comes to rest on the same point of its circumference as it started, having made one complete revolution. If the smaller tube never moves, and the rolling occurs with no slipping, the larger tube ends up a distance $x$ from where it starts. The distance $x$ can be expressed in the form $a\pi + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Respuesta: 179

Conceptos:arco circunferencia triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Cuando el tubo que rueda toca a la vez el suelo y el tubo pequeño, el segmento entre los centros tiene longitud $72 + 24 = 96$ y componente vertical $72 - 24 = 48,$ así que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Mientras el tubo grande rueda por encima del pequeño, su centro se desplaza a lo largo de un arco de radio $96$ alrededor del centro del tubo pequeño, desde $30^\circ$ por encima de la horizontal en un lado hasta $30^\circ$ en el otro: un barrido de $120^\circ,$ que hace avanzar el centro horizontalmente en $2 \cdot 96\cos 30^\circ = 96\sqrt{3}.$

Durante ese barrido, el arco de contacto sobre el tubo pequeño equivale a $120^\circ \cdot \frac{24}{72} = 40^\circ$ de la circunferencia del tubo grande, y el propio barrido también hace girar al tubo grande $120^\circ,$ así que cruzar el tubo pequeño hace girar al tubo grande $160^\circ$ en total. Para completar exactamente una vuelta, los $360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$ de giro restantes ocurren rodando sobre suelo plano, donde el centro avanza la distancia rodada $\frac{200}{360} \cdot 2\pi \cdot 72 = 80\pi.$

Por lo tanto $x = 80\pi + 96\sqrt{3},$ y $a + b + c = 80 + 96 + 3 = 179.$

When the rolling tube touches both the ground and the small tube, the segment between centers has length $72 + 24 = 96$ and vertical component $72 - 24 = 48,$ so it makes a $30^\circ$ angle with the horizontal. As the big tube rolls over the small one, its center swings along an arc of radius $96$ about the small tube's center, from $30^\circ$ above the horizontal on one side to $30^\circ$ on the other: a sweep of $120^\circ,$ advancing the center horizontally by $2 \cdot 96\cos 30^\circ = 96\sqrt{3}.$

During that sweep, the contact arc on the small tube is $120^\circ \cdot \frac{24}{72} = 40^\circ$ worth of the big tube's circumference, and the sweep itself also rotates the big tube by $120^\circ,$ so crossing the small tube turns the big tube by $160^\circ$ in all. To complete exactly one revolution, the remaining $360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$ of turning happens rolling on flat ground, where the center advances the rolled distance $\frac{200}{360} \cdot 2\pi \cdot 72 = 80\pi.$

Hence $x = 80\pi + 96\sqrt{3},$ and $a + b + c = 80 + 96 + 3 = 179.$

12.

La sucesión geométrica creciente $x_0, x_1, x_2, \ldots$ consta enteramente de potencias enteras de $3.$ Dado que $\sum_{n=0}^{7} \log_3(x_n) = 308$ y $56 \le \log_3\left(\sum_{n=0}^{7} x_n\right) \le 57,$ ¿cuánto vale $\log_3(x_{14})$ ?

The increasing geometric sequence $x_0, x_1, x_2, \ldots$ consists entirely of integral powers of $3.$ Given that $\sum_{n=0}^{7} \log_3(x_n) = 308$ and $56 \le \log_3\left(\sum_{n=0}^{7} x_n\right) \le 57,$ find $\log_3(x_{14}).$

Respuesta

Respuesta: 91

Conceptos:sucesión geométrica logaritmo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Cada término es una potencia de $3$ y la razón es un cociente de potencias de $3,$ así que $x_n = 3^{a + bn}$ para enteros $a$ y $b,$ con $b \ge 1$ ya que la sucesión es creciente. La primera condición da $\sum_{n=0}^{7} (a + bn) = 8a + 28b = 308,$ es decir $2a + 7b = 77.$

Para la segunda condición, $x_7 = 3^{a+7b}$ es el término más grande, y $\begin{aligned} x_7 &\lt \sum_{n=0}^{7} x_n \\ &\lt x_7\left(1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9} + \cdots\right) \\ &= \tfrac{3}{2}\,x_7 \lt 3x_7, \end{aligned}$ así que $\log_3\left(\sum x_n\right)$ está estrictamente entre $a + 7b$ y $a + 7b + 1.$ Las cotas dadas obligan entonces a $a + 7b = 56.$

Restando de $2a + 7b = 77$ se obtiene $a = 21,$ luego $b = 5.$ Por lo tanto $\log_3(x_{14}) = a + 14b = 21 + 70$ $= 91.$

Every term is a power of $3$ and the ratio is a quotient of powers of $3,$ so $x_n = 3^{a + bn}$ for integers $a$ and $b,$ with $b \ge 1$ since the sequence increases. The first condition gives $\sum_{n=0}^{7} (a + bn) = 8a + 28b = 308,$ i.e. $2a + 7b = 77.$

For the second condition, $x_7 = 3^{a+7b}$ is the largest term, and $\begin{aligned} x_7 &\lt \sum_{n=0}^{7} x_n \\ &\lt x_7\left(1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9} + \cdots\right) \\ &= \tfrac{3}{2}\,x_7 \lt 3x_7, \end{aligned}$ so $\log_3\left(\sum x_n\right)$ lies strictly between $a + 7b$ and $a + 7b + 1.$ The given bounds then force $a + 7b = 56.$

Subtracting from $2a + 7b = 77$ yields $a = 21,$ then $b = 5.$ Therefore $\log_3(x_{14}) = a + 14b = 21 + 70$ $= 91.$

13.

Un arreglo triangular de cuadrados tiene un cuadrado en la primera fila, dos en la segunda y, en general, $k$ cuadrados en la $k$ -ésima fila para $1 \le k \le 11.$ Con la excepción de la fila inferior, cada cuadrado descansa sobre dos cuadrados de la fila inmediatamente inferior, como se ilustra en la figura. En cada cuadrado de la undécima fila se coloca un $0$ o un $1$ . Luego se colocan números en los demás cuadrados, siendo la entrada de cada cuadrado la suma de las entradas de los dos cuadrados debajo de él. ¿Para cuántas distribuciones iniciales de $0$ y $1$ en la fila inferior el número del cuadrado superior es múltiplo de $3$ ?

A triangular array of squares has one square in the first row, two in the second, and, in general, $k$ squares in the $k$ th row for $1 \le k \le 11.$ With the exception of the bottom row, each square rests on two squares in the row immediately below, as illustrated in the figure. In each square of the eleventh row, a $0$ or a $1$ is placed. Numbers are then placed into the other squares, with the entry for each square being the sum of the entries in the two squares below it. For how many initial distributions of $0$ 's and $1$ 's in the bottom row is the number in the top square a multiple of $3?$

Respuesta

Respuesta: 640

Conceptos:Triángulo de Pascal aritmética modular principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Etiqueta las entradas de la fila inferior como $x_0, x_1, \ldots, x_{10}.$ Como cada cuadrado es la suma de los dos que tiene debajo, las contribuciones se acumulan con los pesos del triángulo de Pascal: el cuadrado superior es igual a $\sum_{i=0}^{10} \binom{10}{i} x_i.$

Módulo $3,$ la comprobación directa (o el teorema de Lucas con $10 = 101_3$ ) muestra que $\binom{10}{i} \equiv 0$ para $2 \le i \le 8,$ mientras que $\binom{10}{0} = \binom{10}{10} = 1$ y $\binom{10}{1} = \binom{10}{9} = 10 \equiv 1.$ Así que el cuadrado superior es múltiplo de $3$ exactamente cuando $x_0 + x_1 + x_9 + x_{10}$ $\equiv 0 \pmod 3.$

Para entradas $0$ / $1$ esta suma es $0$ o $3:$ o bien los cuatro son $0$ (una manera) o bien exactamente tres son $1$ (cuatro maneras), dando $5$ opciones. Las siete entradas restantes $x_2, \ldots, x_8$ son libres, así que el total es $5 \cdot 2^7 = 640.$

Label the bottom-row entries $x_0, x_1, \ldots, x_{10}.$ Since each square is the sum of the two below it, the contributions accumulate with Pascal's-triangle weights: the top square equals $\sum_{i=0}^{10} \binom{10}{i} x_i.$

Modulo $3,$ direct checking (or Lucas' theorem with $10 = 101_3$ ) shows $\binom{10}{i} \equiv 0$ for $2 \le i \le 8,$ while $\binom{10}{0} = \binom{10}{10} = 1$ and $\binom{10}{1} = \binom{10}{9} = 10 \equiv 1.$ So the top square is a multiple of $3$ exactly when $x_0 + x_1 + x_9 + x_{10}$ $\equiv 0 \pmod 3.$

For $0$ / $1$ entries this sum is $0$ or $3:$ either all four are $0$ (one way) or exactly three are $1$ (four ways), for $5$ choices. The remaining seven entries $x_2, \ldots, x_8$ are free, so the count is $5 \cdot 2^7 = 640.$

14.

Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $f(0) = 1,$ $f(2) + f(3) = 125,$ y para todo $x,$ $f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).$ ¿Cuánto vale $f(5)$ ?

Let $f(x)$ be a polynomial with real coefficients such that $f(0) = 1,$ $f(2) + f(3) = 125,$ and for all $x,$ $f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).$ Find $f(5).$

Respuesta

Respuesta: 676

Conceptos:polinomio ecuación funcional número complejo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Si $f$ tiene grado $m$ y coeficiente principal $a,$ los coeficientes principales de los dos lados de $f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x)$ son $a^2 2^m$ y $a 2^m,$ así que $a = 1.$ La ecuación también muestra que siempre que $\lambda$ es una raíz, $2\lambda^3 + \lambda$ también es una raíz.

Si alguna raíz tuviera $|\lambda| \gt 1,$ entonces $|2\lambda^3 + \lambda| \ge 2|\lambda|^3 - |\lambda| \gt |\lambda|,$ e iterando se producirían infinitas raíces distintas, lo cual es imposible. Como $f$ es mónico con $f(0) = 1,$ el producto de las raíces tiene módulo $1,$ así que ninguna raíz puede tener módulo menor que $1$ tampoco: toda raíz satisface $|\lambda| = 1.$ Entonces $2\lambda^3 + \lambda$ también debe tener módulo $1,$ así que $|2\lambda^2 + 1| = 1.$ Escribiendo $\lambda^2 = \cos\theta + i\sin\theta,$ obtenemos $(2\cos\theta + 1)^2 + 4\sin^2\theta = 1,$ que se simplifica a $\cos\theta = -1,$ así que $\lambda^2 = -1.$

Así, toda raíz es $\pm i,$ y los coeficientes reales las emparejan: $f(x) = (x^2 + 1)^n.$ La condición $f(2) + f(3) = 5^n + 10^n = 125$ da $n = 2,$ así que $f(5) = 26^2 = 676.$

If $f$ has degree $m$ and leading coefficient $a,$ the leading coefficients of the two sides of $f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x)$ are $a^2 2^m$ and $a 2^m,$ so $a = 1.$ The equation also shows that whenever $\lambda$ is a root, $2\lambda^3 + \lambda$ is a root as well.

Thus every root is $\pm i,$ and real coefficients pair them up: $f(x) = (x^2 + 1)^n.$ The condition $f(2) + f(3) = 5^n + 10^n = 125$ gives $n = 2,$ so $f(5) = 26^2 = 676.$

15.

Se dibujan cuatro circunferencias $\omega,$ $\omega_A,$ $\omega_B,$ y $\omega_C$ con el mismo radio en el interior del triángulo $ABC$ de modo que $\omega_A$ es tangente a los lados $AB$ y $AC,$ $\omega_B$ a $BC$ y $BA,$ $\omega_C$ a $CA$ y $CB,$ y $\omega$ es tangente externamente a $\omega_A,$ $\omega_B,$ y $\omega_C.$ Si los lados del triángulo $ABC$ son $13,$ $14,$ y $15,$ el radio de $\omega$ puede representarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Four circles $\omega,$ $\omega_A,$ $\omega_B,$ and $\omega_C$ with the same radius are drawn in the interior of triangle $ABC$ such that $\omega_A$ is tangent to sides $AB$ and $AC,$ $\omega_B$ to $BC$ and $BA,$ $\omega_C$ to $CA$ and $CB,$ and $\omega$ is externally tangent to $\omega_A,$ $\omega_B,$ and $\omega_C.$ If the sides of triangle $ABC$ are $13,$ $14,$ and $15,$ the radius of $\omega$ can be represented in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 389

Conceptos:homotecia circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Sea $x$ el radio común, y sean $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ los centros de $\omega_A,$ $\omega_B,$ $\omega_C.$ Cada uno está a distancia $x$ de dos lados del triángulo, así que cada uno está sobre una bisectriz de ángulo, y los lados del triángulo $O_A O_B O_C$ son paralelos a los de $ABC$ a distancia $x.$ Por lo tanto $O_A O_B O_C$ es la imagen de $ABC$ bajo la homotecia centrada en el incentro $I$ con razón $\frac{r - x}{r},$ donde $r$ es el inradio; en particular su circunradio es $R \cdot \frac{r - x}{r},$ donde $R$ es el circunradio de $ABC.$

El centro de $\omega$ está a distancia $2x$ de cada uno de $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ (circunferencias iguales tangentes externamente), así que es el circuncentro de $O_A O_B O_C$ y $2x = R \cdot \frac{r - x}{r}.$ Para el triángulo $13$ - $14$ - $15$ , $s = 21$ y la fórmula de Herón da el área $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ así que $r = \frac{84}{21} = 4$ y $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}.$

Entonces $2x = \frac{65}{8} \cdot \frac{4 - x}{4}$ da $64x = 260 - 65x,$ así que $x = \frac{260}{129}.$ Como $129 = 3 \cdot 43$ no comparte factor con $260,$ la respuesta es $m + n = 260 + 129 = 389.$

Let $x$ be the common radius, and let $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ be the centers of $\omega_A,$ $\omega_B,$ $\omega_C.$ Each is at distance $x$ from two sides of the triangle, so each lies on an angle bisector, and the sides of triangle $O_A O_B O_C$ are parallel to those of $ABC$ at distance $x.$ Hence $O_A O_B O_C$ is the image of $ABC$ under the homothety centered at the incenter $I$ with ratio $\frac{r - x}{r},$ where $r$ is the inradius; in particular its circumradius is $R \cdot \frac{r - x}{r},$ where $R$ is the circumradius of $ABC.$

The center of $\omega$ is at distance $2x$ from each of $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ (externally tangent equal circles), so it is the circumcenter of $O_A O_B O_C$ and $2x = R \cdot \frac{r - x}{r}.$ For the $13$ - $14$ - $15$ triangle, $s = 21$ and Heron's formula gives area $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so $r = \frac{84}{21} = 4$ and $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}.$

Then $2x = \frac{65}{8} \cdot \frac{4 - x}{4}$ gives $64x = 260 - 65x,$ so $x = \frac{260}{129}.$ Since $129 = 3 \cdot 43$ shares no factor with $260,$ the answer is $m + n = 260 + 129 = 389.$

Problemas del 2007 AIME II

Respuesta: 372

Solución:

Respuesta: 200

Solución:

Respuesta: 578

Solución:

Respuesta: 450

Solución:

Respuesta: 888

Solución:

Respuesta: 640

Solución:

Respuesta: 553

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Respuesta: 896

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Respuesta: 259

Solución:

Respuesta: 710

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Respuesta: 179

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Respuesta: 91

Solución:

Respuesta: 640

Solución:

Respuesta: 676

Solución:

Respuesta: 389

Solución: