Question

En un cuadrado mágico, la suma de las tres entradas de cualquier fila, columna o diagonal tiene el mismo valor. La figura muestra cuatro de las entradas de un cuadrado mágico. Halla $x.$

In a magic square, the sum of the three entries in any row, column, or diagonal is the same value. The figure shows four of the entries of a magic square. Find $x.$

Respuesta

Respuesta: 200

Conceptos:cuadrado mágico sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sea $e$ la entrada central y $S$ la suma común

Let $e$ be the center entry and $S$ the common sum

Pista grande:

En un cuadrado mágico de $3\times3,$ $S=3e$ y las entradas opuestas suman $2e$

In a $3\times3$ magic square, $S=3e$ and opposite entries sum to $2e$

Solución:

Sea $e$ la entrada central y $S$ la suma común. En cualquier cuadrado mágico de $3\times3,$ $S=3e$ y las entradas opuestas respecto del centro suman $2e.$ Por lo tanto, la entrada inferior izquierda es $2e-96.$ La primera columna y la primera fila dan $\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e.\end{aligned}$ La primera ecuación da $e=x-95,$ mientras que la segunda da $3e=x+115.$ Por consiguiente, $3x-285=x+115,$ así que $x=200.$

Let the center entry be $e$ and the common sum be $S.$ In any $3\times3$ magic square, $S=3e$ and entries opposite across the center sum to $2e.$ Thus the bottom-left entry is $2e-96.$ The first column and first row give $\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e.\end{aligned}$ The first equation says $e=x-95,$ while the second says $3e=x+115.$ Hence $3x-285=x+115,$ so $x=200.$

1996 AIME Problema 1

Respuesta: 200

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años