Question

Halla $x^2+y^2$ si $x$ e $y$ son enteros positivos tales que $\begin{aligned}xy+x+y&=71,\\x^2y+xy^2&=880.\end{aligned}$

Find $x^2+y^2$ if $x$ and $y$ are positive integers such that $\begin{aligned}xy+x+y&=71,\\x^2y+xy^2&=880.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 146

Conceptos:simetría (álgebra)sistema de ecuaciones cuadrática

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Define $s=x+y$ y $p=xy$ , y reescribe las dos ecuaciones dadas en términos de $s$ y $p$

Let $s=x+y$ and $p=xy$ , and rewrite both given equations using $s$ and $p$

Pista grande:

Las dos ecuaciones determinan $s+p$ y $sp$ , por lo que $s$ y $p$ son las raíces de una misma ecuación cuadrática

The two equations determine $s+p$ and $sp$ , so $s$ and $p$ are roots of one quadratic

Solución:

Sean $s=x+y$ y $p=xy.$ Las ecuaciones se convierten en $s+p=71$ y $sp=880,$ así que $s$ y $p$ son las raíces de $\begin{aligned}t^2-71t+880&=0,\\ (t-16)(t-55)&=0.\end{aligned}$ Como $x$ e $y$ son enteros positivos, $s=16$ y $p=55$ ; en efecto, $x=5$ e $y=11.$ Por lo tanto, $\begin{aligned}x^2+y^2&=s^2-2p\\&=16^2-2(55)=146.\end{aligned}$

Let $s=x+y$ and $p=xy.$ The equations become $s+p=71$ and $sp=880,$ so $s$ and $p$ are the roots of $\begin{aligned}t^2-71t+880&=0,\\ (t-16)(t-55)&=0.\end{aligned}$ Because $x$ and $y$ are positive integers, $s=16$ and $p=55$ ; indeed, $x=5$ and $y=11.$ Therefore $\begin{aligned}x^2+y^2&=s^2-2p\\&=16^2-2(55)=146.\end{aligned}$

1991 AIME Problema 1

Respuesta: 146

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años