Question

设 $P_1$ 是正 $r$ 边形， $P_2$ 是正 $s$ 边形，且 $(r\geq s\geq3)$ 。若 $P_1$ 的每个内角都是 $P_2$ 的每个内角的 $\frac{59}{58}$ 倍，求 $s$ 的最大可能值。

Let $P_1$ be a regular $r$ -gon and $P_2$ be a regular $s$ -gon $(r\geq s\geq3)$ such that each interior angle of $P_1$ is $\frac{59}{58}$ as large as each interior angle of $P_2.$ What is the largest possible value of $s?$

答案

答案：117

知识点：正多边形整除性丢番图方程

难度评级：2040

小提示：

正 $n$ 边形的内角为 $\frac{180(n-2)}{n}$

Use $\frac{180(n-2)}{n}$ for the interior angle of a regular $n$ -gon

大提示：

化简后令 $t=118-s$ ，并利用 $t$ 为正数

After simplifying, set $t=118-s$ and use the positivity of $t$

解答：

由内角条件可得 $\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58}\text{，}$ 化简为 $r(118-s)=116s$ 。令 $t=118-s$ ，则 $r=\frac{13688}{t}-116\text{。}$ 特别地， $t$ 是 $13688$ 的正因数，而要使 $s=118-t$ 最大，就要使 $t$ 尽可能小。取 $t=1$ ，得到 $s=117$ 和正整数 $r=13572$ ，它也满足 $r\geq s$ 。因此 $s$ 的最大可能值为 $117$ 。

The angle condition gives $\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},$ which simplifies to $r(118-s)=116s.$ Put $t=118-s.$ Then $r=\frac{13688}{t}-116.$ In particular, $t$ is a positive divisor of $13688,$ and maximizing $s=118-t$ means taking the least possible $t.$ The choice $t=1$ gives $s=117$ and the positive integer $r=13572,$ which also satisfies $r\geq s.$ Hence the largest possible $s$ is $117.$

1990 AIME 第 3 题

答案：117

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题