Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 100$ 。令 $E$ 为 $\overline{AD}$ 的中点。已知直线 $AC$ 与直线 $BE$ 垂直，求小于 $AD$ 的最大整数。

In rectangle $ABCD,$ $AB = 100.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{AD}.$ Given that line $AC$ and line $BE$ are perpendicular, find the greatest integer less than $AD.$

答案

答案：141

知识点：坐标几何斜率矩形

难度评级：1890

小提示：

建立坐标： $A = (0, 0)$ 、 $B = (100, 0)$ 、 $D = (0, h)$ ，则 $E = (0, \frac{h}{2})$ ，且 $C = (100, h)$

Place coordinates: $A = (0, 0),$ $B = (100, 0),$ $D = (0, h),$ so $E = (0, \frac{h}{2})$ and $C = (100, h)$

大提示：

垂直直线的斜率乘积为 $-1$ ： $\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1$

Perpendicular lines have slopes whose product is $-1:$ $\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1$

解答：

设 $AD = h$ ，并取 $A = (0, 0)$ 、 $B = (100, 0)$ 、 $C = (100, h)$ 、 $D = (0, h)$ ，因此 $E = \left(0, \frac{h}{2}\right)$ 。直线 $AC$ 的斜率为 $\frac{h}{100}$ ，直线 $BE$ 的斜率为 $\frac{\frac{h}{2}}{-100} = -\frac{h}{200}$ 。由垂直可得 $\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1\text{，}$ 所以 $h^2 = 20000$ ，且 $h = 100\sqrt{2} \approx 141.42$ 。

小于 $AD$ 的最大整数是 $141$ 。

Let $AD = h,$ and place $A = (0, 0),$ $B = (100, 0),$ $C = (100, h),$ $D = (0, h),$ so $E = \left(0, \frac{h}{2}\right).$ Line $AC$ has slope $\frac{h}{100}$ and line $BE$ has slope $\frac{\frac{h}{2}}{-100} = -\frac{h}{200}.$ Perpendicularity gives $\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1,$ so $h^2 = 20000$ and $h = 100\sqrt{2} \approx 141.42.$

The greatest integer less than $AD$ is $141.$

2009 AIME II 第 3 题

答案：141

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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