Question

一个实心长方体由 $N$ 个全等的、边长为 $1$ 厘米的小立方体面贴面粘成。当从能看见它三个面的方向观察时，恰有 $231$ 个边长为 $1$ 厘米的小立方体看不见。求 $N$ 的最小可能值。

A solid rectangular block is formed by gluing together $N$ congruent $1$ -cm cubes face to face. When the block is viewed so that three of its faces are visible, exactly $231$ of the $1$ -cm cubes cannot be seen. Find the smallest possible value of $N.$

答案

答案：384

知识点：长方体质因数分解最优化

难度评级：2110

小提示：

看不见的立方体正好是不接触这三个可见面的那些，它们形成一个 $(p-1) \times (q-1) \times (r-1)$ 的长方体。

The unseen cubes are exactly those behind the three visible faces: they form a $(p-1) \times (q-1) \times (r-1)$ block

大提示：

将 $231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$ 分解为三个正整数的乘积，逐一比较对应长方体的体积。

Factor $231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$ as a product of three positive integers in every possible way and compare the resulting volumes

解答：

设长方体尺寸为 $p \times q \times r$ 。一个小立方体看不见，当且仅当它不接触三个可见面中的任何一个，所以看不见的小立方体形成 $(p-1) \times (q-1) \times (r-1)$ 的块。因此 $(p-1)(q-1)(r-1) = 231$ $= 3 \cdot 7 \cdot 11$ 。

将 $231$ 写成三个正整数乘积的方式为 $3 \cdot 7 \cdot 11$ 、 $1 \cdot 3 \cdot 77$ 、 $1 \cdot 7 \cdot 33$ 、 $1 \cdot 11 \cdot 21$ 、 $1 \cdot 1 \cdot 231$ 。对应长方体为 $4 \times 8 \times 12$ 、 $2 \times 4 \times 78$ 、 $2 \times 8 \times 34$ 、 $2 \times 12 \times 22$ 、 $2 \times 2 \times 232$ ，体积分别为 $384$ ， $624$ ， $544$ ， $528$ ， $928$ 。

最小值为 $N = 384$ 。

Let the block measure $p \times q \times r.$ A cube is hidden exactly when it touches none of the three visible faces, so the hidden cubes form a $(p-1) \times (q-1) \times (r-1)$ block, giving $(p-1)(q-1)(r-1) = 231$ $= 3 \cdot 7 \cdot 11.$

The ways to write $231$ as a product of three positive integers are $3 \cdot 7 \cdot 11,$ $1 \cdot 3 \cdot 77,$ $1 \cdot 7 \cdot 33,$ $1 \cdot 11 \cdot 21,$ and $1 \cdot 1 \cdot 231,$ giving blocks $4 \times 8 \times 12,$ $2 \times 4 \times 78,$ $2 \times 8 \times 34,$ $2 \times 12 \times 22,$ and $2 \times 2 \times 232,$ with volumes $384,$ $624,$ $544,$ $528,$ and $928.$

The smallest is $N = 384.$

2004 AIME II 第 3 题

答案：384

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题