Question

Jane 今年 $25$ 岁。Dick 比 Jane 年长。再过 $n$ 年，其中 $n$ 是正整数，Dick 和 Jane 的年龄都将是两位数，并且 Jane 的年龄可以由 Dick 的年龄交换两个数字得到。令 $d$ 为 Dick 现在的年龄。有多少个正整数有序对 $(d, n)$ 是可能的？

Jane is $25$ years old. Dick is older than Jane. In $n$ years, where $n$ is a positive integer, Dick’s age and Jane’s age will both be two-digit numbers and will have the property that Jane’s age is obtained by interchanging the digits of Dick’s age. Let $d$ be Dick’s present age. How many ordered pairs of positive integers $(d, n)$ are possible?

答案

答案：25

知识点：数字年龄问题系统列举

难度评级：2300

小提示：

关注未来的年龄：Jane 的年龄是一个两位数，其数字反转后是 Dick 的年龄，而且 Dick 的年龄更大。

Focus on the future ages: Jane’s is a two-digit number whose digit reversal, Dick’s age, is larger

大提示：

数出 Jane 未来年龄的可能值：它至少足够大，且十位数字小于个位数字。每个这样的值确定一个 $(d, n)$ 。

Count the possible values of Jane’s future age: two-digit numbers old enough for Jane whose tens digit is smaller than the units digit. Each determines $(d, n).$

解答：

再过 $n$ 年，Jane 的年龄为 $25 + n$ ，Dick 的年龄是它的数字反转。若 Jane 未来的年龄为 $10a + b$ ，则 Dick 的年龄为 $10b + a$ ，它更大当且仅当 $b \gt a$ 。反过来，只要两位数 $25 + n$ 的十位数字小于个位数字，就会给出唯一有效的有序对： $n = 10a + b - 25$ ，且 $\begin{aligned} d &= 10b + a - n \\ &= 25 + 9(b - a) \gt 25 \end{aligned}$ 所以 Dick 现在确实比 Jane 年长。

因此只需数不小于 $26$ 、且十位数字小于个位数字的两位数：有 $4$ 个以 $2$ 开头（即 $26$ 到 $29$ ），然后分别有 $6$ 、 $5$ 、 $4$ 、 $3$ 、 $2$ 、 $1$ 个以 $3$ 到 $8$ 开头。总数为 $4 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25$ 。

In $n$ years Jane’s age is $25 + n,$ and Dick’s age is its digit reversal. If Jane’s future age is $10a + b,$ Dick’s is $10b + a,$ which is larger exactly when $b \gt a.$ Conversely, every two-digit value of $25 + n$ with tens digit less than units digit yields exactly one valid pair: $n = 10a + b - 25$ and $\begin{aligned} d &= 10b + a - n \\ &= 25 + 9(b - a) \gt 25, \end{aligned}$ so Dick is indeed older than Jane now.

So we count two-digit numbers that are at least $26$ and have tens digit less than units digit: $4$ starting with $2$ (namely $26$ through $29$ ), then $6,$ $5,$ $4,$ $3,$ $2,$ $1$ starting with $3$ through $8.$ The total is $4 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25.$

2002 AIME I 第 3 题

答案：25

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题