Question

函数 $f$ 满足：对每个实数 $x$ ，都有 $f(x)+f(x-1)=x^2\text{。}$ 若 $f(19)=94$ ，那么 $f(94)$ 除以 $1000$ 的余数是多少？

The function $f$ has the property that, for each real number $x,$ $f(x)+f(x-1)=x^2.$ If $f(19)=94,$ what is the remainder when $f(94)$ is divided by $1000?$

答案

答案：561

知识点：递推求和模运算

难度评级：1900

小提示：

先代入 $x=20$ 求出 $f(20)$

First use $x=20$ to find $f(20)$

大提示：

通过推导从 $f(x)$ 到 $f(x-2)$ 的递推关系来消去交替出现的项

Eliminate alternating terms by deriving a recurrence from $f(x)$ to $f(x-2)$

解答：

首先， $f(20)=20^2-f(19)=306$ 。连续代入两步可得 $\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2)\end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561\end{aligned}\text{。}$ 所求余数为 $561$ 。

First $f(20)=20^2-f(19)=306.$ Subtracting through two steps gives $\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2).\end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561.\end{aligned}$ The requested remainder is $561.$

1994 AIME 第 3 题

答案：561

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题