Question

设 $n$ 为正整数， $d$ 为 $10$ 进制中的一位数字。若下列等式成立，求 $n$ ： $\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots$

Suppose $n$ is a positive integer and $d$ is a single digit in base $10.$ Find $n$ if $\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.$

答案

答案：750

知识点：数字整除性循环小数

难度评级：1970

小提示：

将循环的三位数字块化为分母为 $999$ 的分数

Convert the repeating three-digit block into a fraction with denominator $999$

大提示：

利用 $n$ 是整数，确定哪个数字使 $4d+1$ 能被 $37$ 整除

Use the integrality of $n$ to determine which digit makes $4d+1$ divisible by $37$

解答：

该循环小数为 $\frac{100d+25}{999}$ 。因此 $\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}\end{aligned}\text{。}$ 由于 $0\leq d\leq9$ ，要使 $4d+1$ 能被 $37$ 整除，只能有 $4d+1=37$ ，所以 $d=9$ ，且 $n=750$ 。

The repeating decimal is $\frac{100d+25}{999}.$ Thus $\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}$ Since $0\leq d\leq9,$ the only way $4d+1$ can be divisible by $37$ is $4d+1=37,$ so $d=9$ and $n=750.$

1989 AIME 第 3 题

答案：750

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题