Question

三角形 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 位于坐标平面内，顶点分别为 $A(0, 0)$ 、 $B(0, 12)$ 、 $C(16, 0)$ 、 $A'(24, 18)$ 、 $B'(36, 18)$ 、 $C'(24, 2)$ 。绕点 $(x, y)$ 顺时针旋转 $m$ 度，其中 $0 \lt m \lt 180$ ，会把 $\triangle ABC$ 变换为 $\triangle A'B'C'$ 。求 $m + x + y$ 。

Triangles $\triangle ABC$ and $\triangle A'B'C'$ lie in the coordinate plane with vertices $A(0, 0),$ $B(0, 12),$ $C(16, 0),$ $A'(24, 18),$ $B'(36, 18),$ $C'(24, 2).$ A rotation of $m$ degrees clockwise around the point $(x, y),$ where $0 \lt m \lt 180,$ will transform $\triangle ABC$ to $\triangle A'B'C'.$ Find $m + x + y.$

答案

答案：108

知识点：变换坐标几何

难度评级：2300

小提示：

线段 $AB$ 是竖直的，而它的像 $A'B'$ 是水平的，所以旋转角必须是 $90$ 度

Segment $AB$ is vertical while its image $A'B'$ is horizontal, so the rotation must be by $90$ degrees

大提示：

绕 $(a, b)$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 会把 $(p, q)$ 送到 $(a + q - b,\ b - p + a)$ ；匹配 $A \mapsto A'$

A $90^\circ$ clockwise rotation about $(a, b)$ sends $(p, q)$ to $(a + q - b,\ b - p + a);$ match $A \mapsto A'$

解答：

向量 $\overrightarrow{AB} = (0, 12)$ 是竖直的，而 $\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)$ 是水平的且长度相同，所以旋转把方向顺时针转了 $90^\circ$ ，因此 $m = 90$ 。

绕 $(a, b)$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 会把 $(p, q)$ 送到 $(a + q - b,\ b - p + a)$ 。将其用于 $A = (0, 0)$ ，并令像等于 $A' = (24, 18)$ ，得到 $a - b = 24$ 且 $a + b = 18$ ，所以 $a = 21$ ， $b = -3$ 。检查另外两个顶点： $B = (0, 12)$ 映到 $(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)$ $= (36, 18) = B'$ ，且 $C = (16, 0)$ 映到 $(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)$ $= (24, 2) = C'$ 。

因此 $m + x + y = 90$ $+ 21$ $+ (-3) = 108$ 。

The vector $\overrightarrow{AB} = (0, 12)$ is vertical, while $\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)$ is horizontal and of the same length, so the rotation turns directions by $90^\circ$ clockwise, and $m = 90.$

A $90^\circ$ clockwise rotation about $(a, b)$ sends $(p, q)$ to $(a + q - b,\ b - p + a).$ Applying this to $A = (0, 0)$ and setting the image equal to $A' = (24, 18)$ gives $a - b = 24$ and $a + b = 18,$ so $a = 21$ and $b = -3.$ Checking the other vertices: $B = (0, 12)$ maps to $(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)$ $= (36, 18) = B',$ and $C = (16, 0)$ maps to $(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)$ $= (24, 2) = C'.$

Therefore $m + x + y = 90$ $+ 21$ $+ (-3) = 108.$

2020 AIME II 第 4 题

答案：108

难度评级：2300

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