Question

有多少个有序整数四元组 $(a,b,c,d)$ 满足 $0<a<b<c<d<500$ 、 $a+d=b+c$ 和 $bc-ad=93$ ？

How many ordered four-tuples of integers $(a,b,c,d)$ with $0<a<b<c<d<500$ satisfy $a+d=b+c$ and $bc-ad=93?$

答案

答案：870

知识点：分类讨论区间内整数计数因式分解

难度评级：2310

小提示：

第一个方程意味着 $b-a=d-c$

The first equation implies that $b-a=d-c$

大提示：

令 $x=b-a=d-c$ ，并将 $bc-ad$ 用 $x$ 和 $c-a$ 因式分解

Set $x=b-a=d-c$ and factor $bc-ad$ in terms of $x$ and $c-a$

解答：

令 $x=b-a=d-c>0$ ，且 $y=c-a$ 。于是 $\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93\end{aligned}\text{。}$ 由于 $b<c$ ，必须有 $x<y$ 。正因数对为 $(x,y)=(1,93)$ 和 $(3,31)$ 。在第一种情况下， $d=a+94<500$ ，所以有 $405$ 种 $a$ 的选择。在第二种情况下， $d=a+34<500$ ，所以有 $465$ 种选择。总数为 $405+465=870$ 。

Let $x=b-a=d-c>0$ and $y=c-a.$ Then $\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93.\end{aligned}$ Since $b<c,$ we need $x<y.$ The positive factor pairs are $(x,y)=(1,93)$ and $(3,31).$ For the first, $d=a+94<500$ gives $405$ choices for $a.$ For the second, $d=a+34<500$ gives $465$ choices. The total is $405+465=870.$

1993 AIME 第 4 题

答案：870

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

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