Question

如图所示，一个机械加工切削工具的形状是带缺口的圆。圆的半径为 $\sqrt{50}$ 厘米， $AB$ 的长度为 $6$ 厘米， $BC$ 的长度为 $2$ 厘米，且角 $ABC$ 为直角。求 $B$ 到圆心的距离（单位为厘米）的平方。

A machine-shop cutting tool has the shape of a notched circle, as shown. The radius of the circle is $\sqrt{50}$ cm, the length of $AB$ is $6$ cm, and that of $BC$ is $2$ cm. The angle $ABC$ is a right angle. Find the square of the distance (in centimeters) from $B$ to the center of the circle.

答案

答案：26

知识点：圆坐标几何垂直平分线

难度评级：2210

小提示：

设 $B=(0,0)$ 、 $A=(0,6)$ 、 $C=(2,0)$

Put $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ and $C=(2,0)$

大提示：

圆心位于线段 $AC$ 的垂直平分线上，并且与其中点相距 $\sqrt{40}$

The center lies on the perpendicular bisector of $AC$ at distance $\sqrt{40}$ from its midpoint

解答：

设 $B=(0,0)$ 、 $A=(0,6)$ 、 $C=(2,0)$ 。 $AC$ 的中点为 $M=(1,3)$ ，且 $AC=\sqrt{40}$ 。若 $O$ 为圆心，则 $\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40} \end{aligned}\text{。}$ 与 $AC=(2,-6)$ 垂直的向量 $(6,2)$ 的长度恰为 $\sqrt{40}$ 。因此两个可能的圆心是 $\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1) \end{aligned}\text{。}$ 图中的圆心位于缺口的另一侧，所以 $O=(-5,1)$ 。因此 $BO^2=(-5)^2+1^2=26$ 。

Put $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ and $C=(2,0).$ The midpoint of $AC$ is $M=(1,3),$ and $AC=\sqrt{40}.$ If $O$ is the center, then $\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}$ A vector perpendicular to $AC=(2,-6)$ is $(6,2),$ which already has length $\sqrt{40}.$ Thus the two possible centers are $\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}$ The pictured notched circle has its center on the side opposite the notch, so $O=(-5,1).$ Therefore $BO^2=(-5)^2+1^2=26.$

1983 AIME 第 4 题

答案：26

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

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