Question

存在一个正实数 $x$ ，它既不等于 $\frac{1}{20}$ 也不等于 $\frac{1}{2}$ ，并且满足 $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x)\text{。}$ 数值 $\log_{20x}(22x)$ 可写成 $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right)$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

There is a positive real number $x$ not equal to either $\frac{1}{20}$ or $\frac{1}{2}$ such that $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).$ The value $\log_{20x}(22x)$ can be written as $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：112

知识点：对数代数变形

难度评级：2350

小提示：

把两边都换成同一个底： $\frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}$ ，再比较分子分母的差。

Change both sides to a common base: $\frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}$

大提示：

若 $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ ，则两个分数也都等于 $\frac{r - p}{s - q}$ 。应用这一点并化简所得商。

If $\frac{p}{q} = \frac{r}{s},$ then both fractions also equal $\frac{r - p}{s - q}.$ Apply this and simplify the resulting quotient.

解答：

设公共值为 $y$ 。用自然对数表示， $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}\text{。}$ 当两个分数相等时，它们也等于分子之差与分母之差的商： $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101} \end{aligned}\text{。}$

为了验证这样的 $x$ 确实存在，而不仅仅依赖题目给出的存在性，注意 $y \ne 1$ 。令 $\ln x=\frac{y\ln 20-\ln 22}{1-y}\text{，}$ 便有 $\ln(22x)=y\ln(20x)$ 。另外 $\begin{aligned} \ln(202x)-\ln(22x) &= \ln\frac{101}{11} \\ &= y\ln\frac{1}{10} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $\ln(202x)=y\ln(2x)$ 也成立。这个正实数 $x$ 不等于题目排除的两个值（它们都不满足上面的线性方程），因此两个对数的底都有效。由于 $\gcd(11,101)=1$ ，得到 $m+n=11+101=112$ 。

Let $y$ be the common value. In natural logarithms, $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}.$ When two fractions are equal, each also equals the quotient of the differences of numerators and denominators: $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101}. \end{aligned}$

To check existence rather than merely use the promised $x,$ note that $y \ne 1.$ Setting $\ln x=\frac{y\ln 20-\ln 22}{1-y}$ makes $\ln(22x)=y\ln(20x).$ Also $\begin{aligned} \ln(202x)-\ln(22x) &= \ln\frac{101}{11} \\ &= y\ln\frac{1}{10}, \end{aligned}$ so $\ln(202x)=y\ln(2x)$ as well. This positive $x$ is neither excluded value (neither one satisfies the displayed linear equation), so both logarithm bases are valid. Since $\gcd(11,101)=1,$ we get $m+n=11+101=112.$

2022 AIME II 第 4 题

答案：112

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题