Question

存在唯一一组正整数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^2 + 84x + 2008 = y^2$ 。求 $x + y$ 。

There exist unique positive integers $x$ and $y$ that satisfy the equation $x^2 + 84x + 2008 = y^2.$ Find $x + y.$

答案

答案：80

知识点：丢番图方程配方法平方差

难度评级：2230

小提示：

将 $x^2 + 84x + 2008$ 与 $(x + 42)^2 = x^2 + 84x + 1764$ 比较

Compare $x^2 + 84x + 2008$ with $(x + 42)^2 = x^2 + 84x + 1764$

大提示：

写成 $y^2 - (x + 42)^2 = 244$ 并分解： $244 = 2 \cdot 2 \cdot 61$ ，且平方差的两个因子都必须是偶数

Write $y^2 - (x + 42)^2 = 244$ and factor: $244 = 2 \cdot 2 \cdot 61,$ and both factors of the difference of squares must be even

解答：

配方得 $x^2 + 84x + 2008$ $= (x + 42)^2 + 244$ ，所以 $y^2 - (x + 42)^2 = 244$ ，因式分解为 $\begin{aligned} &(y - x - 42) \\ &\quad {}\cdot (y + x + 42) \\ &= 244 \\ &= 2^2 \cdot 61 \end{aligned}\text{。}$ 这两个因子奇偶性相同，且乘积为偶数，因此二者都是偶数： $y - x - 42 = 2$ ， $y + x + 42 = 122$ 。

相加得 $y = 62$ ，于是 $x = 18$ ；确有 $18^2 + 84 \cdot 18 + 2008$ $= 3844$ $= 62^2$ 。因此 $x + y = 18 + 62 = 80$ 。

Completing the square, $x^2 + 84x + 2008$ $= (x + 42)^2 + 244,$ so $y^2 - (x + 42)^2 = 244,$ which factors as $\begin{aligned} &(y - x - 42) \\ &\quad {}\cdot (y + x + 42) \\ &= 244 \\ &= 2^2 \cdot 61. \end{aligned}$ The two factors have the same parity, and their product is even, so both are even: $y - x - 42 = 2$ and $y + x + 42 = 122.$

Adding gives $y = 62,$ and then $x = 18;$ indeed $18^2 + 84 \cdot 18 + 2008$ $= 3844$ $= 62^2.$ Therefore $x + y = 18 + 62 = 80.$

2008 AIME I 第 4 题

答案：80

难度评级：2230

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