Question

将一个面积为 $1$ 的正方形的每条边分成 $n$ 个相等的部分，再将各顶点与最靠近其对面顶点的分点连接，如图所示，从而在单位正方形内部构造一个小正方形。若小正方形（图中阴影部分）的面积恰为 $\frac1{1985}$ ，求 $n$ 的值。

A small square is constructed inside a square of area $1$ by dividing each side of the unit square into $n$ equal parts, and then connecting the vertices to the division points closest to the opposite vertices, as shown. Find the value of $n$ if the area of the small square (shaded in the figure) is exactly $\frac1{1985}.$

答案

答案：32

知识点：正方形（几何）距离公式二次方程

难度评级：2260

小提示：

将单位正方形置于坐标平面上，并写出两条平行构造线的方程

Place the unit square on a coordinate plane and write equations for two parallel construction lines

大提示：

两条平行线之间的距离就是小正方形的边长

The distance between the parallel lines is the side length of the small square

解答：

将外正方形的四个顶点置于 $(0,0)$ 、 $(1,0)$ 、 $(1,1)$ 、 $(0,1)$ 。其中一对构造线的方程为 $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1 \end{aligned}\text{。}$ 另一对构造线与这一对垂直，而且两对平行线的间距相同。因此内正方形的边长为 $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}\text{，}$ 其面积为 $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}$ 。所以 $n^2+(n-1)^2=1985\text{，}$ 即 $n^2-n-992=0$ 。其正根为 $n=\frac{1+63}{2}=32$ 。

Put the outer square at $(0,0),$ $(1,0),$ $(1,1),$ $(0,1).$ One pair of construction lines has equations $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1. \end{aligned}$ The other pair is perpendicular to this pair, and the two pairs have the same separation. Thus the inner square has side length $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}$ and area $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}.$ Hence $n^2+(n-1)^2=1985,$ or $n^2-n-992=0.$ Its positive root is $n=\frac{1+63}{2}=32.$

1985 AIME 第 4 题

答案：32

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题