Question

一个边长为一厘米的木制正方体放在水平面上。点光源位于某个上顶点的正上方 $x$ 厘米处，正方体在水平面上投下阴影。不计正方体下方的区域，阴影面积为 $48$ 平方厘米。求不超过 $1000x$ 的最大整数。

A wooden cube, whose edges are one centimeter long, rests on a horizontal surface. Illuminated by a point source of light that is $x$ centimeters directly above an upper vertex, the cube casts a shadow on the horizontal surface. The area of the shadow, which does not include the area beneath the cube, is $48$ square centimeters. Find the greatest integer that does not exceed $1000x.$

答案

答案：166

知识点：正方体相似面积

难度评级：1940

小提示：

从光源出发，将正方体的上表面投影到水平面上

Project the cube’s upper face onto the horizontal surface from the light source

大提示：

由相似三角形，投影正方形的边长为 $\frac{x+1}{x}$

Similar triangles give the projected side length as $\frac{x+1}{x}$

解答：

光源高出水平面 $x+1$ 厘米，并高出正方体上表面 $x$ 厘米。由相似关系，单位正方形上表面的投影是边长为 $\frac{x+1}{x}$ 的正方形。这个正方形包含正方体下方的单位正方形区域，所以 $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48\text{。}$ 因此 $\frac{x+1}{x}=7$ ，从而 $x=\frac{1}{6}$ 。由于 $1000x=166\frac23$ ，不超过它的最大整数为 $166$ 。

The light is $x+1$ centimeters above the surface and $x$ centimeters above the cube’s top face. By similarity, the projection of that unit-square face is a square of side $\frac{x+1}{x}.$ This square contains the unit-square area beneath the cube, so $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48.$ Therefore $\frac{x+1}{x}=7,$ giving $x=\frac{1}{6}.$ The greatest integer not exceeding $1000x=166\frac23$ is $166.$

1996 AIME 第 4 题

答案：166

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题