Question

设方程 $x^3+3x^2+4x-11=0$ 的根为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，而方程 $x^3+rx^2+sx+t=0$ 的根为 $a+b$ 、 $b+c$ 和 $c+a$ 。求 $t$ 。

Suppose that the roots of $x^3+3x^2+4x-11=0$ are $a,$ $b,$ and $c,$ and that the roots of $x^3+rx^2+sx+t=0$ are $a+b,$ $b+c,$ and $c+a.$ Find $t.$

答案

答案：23

知识点：韦达定理多项式对称性（代数）

难度评级：1710

小提示：

对原三次方程使用韦达定理

Use Vieta’s formulas on the original cubic

大提示：

用基本对称和展开 $(a+b)(b+c)(c+a)$

Expand $(a+b)(b+c)(c+a)$ in symmetric sums

解答：

由韦达定理， $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11\end{aligned}\text{。}$ 另外， $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23\end{gathered}\text{。}$ 这是第二个首一三次多项式的根之积，所以其常数项是这个乘积的相反数。因此 $t=23$ 。

Vieta’s formulas give $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11.\end{aligned}$ Also, $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23.\end{gathered}$ This is the product of the roots of the second monic cubic, so its constant term is the negative of that product. Hence $t=23.$

1996 AIME 第 5 题

答案：23

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题