Question

正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 满足 $a \gt b \gt c \gt d$ ， $a + b + c + d = 2010$ ，且 $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010$ 。求 $a$ 可能取值的个数。

Positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ satisfy $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ and $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Find the number of possible values of $a.$

答案

答案：501

知识点：平方差极限情形界定区间内整数计数

难度评级：2230

小提示：

因式分解： $a^2 - b^2 + c^2 - d^2$ $= (a-b)(a+b)$ $+ (c-d)(c+d)$ $\ge (a+b) + (c+d)$

Factor: $a^2 - b^2 + c^2 - d^2$ $= (a-b)(a+b)$ $+ (c-d)(c+d)$ $\ge (a+b) + (c+d)$

大提示：

等号迫使 $a - b = c - d = 1$ ，所以 $a + c = 1006$ ；再找出 $a$ 在 $b \gt c$ 和 $d \ge 1$ 条件下的范围

Equality forces $a - b = c - d = 1,$ so $a + c = 1006;$ then find the range of $a$ allowed by $b \gt c$ and $d \ge 1$

解答：

因式分解得 $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010 \end{gathered}\text{，}$ 因为 $a - b \ge 1$ 且 $c - d \ge 1$ 。等号成立，所以 $a - b = c - d = 1$ ，即 $b = a - 1$ 、 $d = c - 1$ 。于是 $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ ，得到 $a + c = 1006$ 。

条件 $b \gt c$ 表示 $a - 1 \gt c = 1006 - a$ ，所以 $a \ge 504$ ；条件 $d \ge 1$ 表示 $c \ge 2$ ，所以 $a \le 1004$ 。这个范围内每个 $a$ 都可行，只需取 $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a)$ 。

个数为 $1004 - 504 + 1 = 501$ 。

Factoring, $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}$ since $a - b \ge 1$ and $c - d \ge 1.$ Equality holds, so $a - b = c - d = 1,$ that is, $b = a - 1$ and $d = c - 1.$ Then $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ gives $a + c = 1006.$

The condition $b \gt c$ means $a - 1 \gt c = 1006 - a,$ so $a \ge 504,$ and $d \ge 1$ means $c \ge 2,$ so $a \le 1004.$ Every $a$ in this range works, via $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a).$

The count is $1004 - 504 + 1 = 501.$

2010 AIME I 第 5 题

答案：501

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题