Question

数 $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ 可以写成 $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数。求 $a \cdot b \cdot c$ 。

The number $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ can be written as $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $a \cdot b \cdot c.$

答案

答案：936

知识点：根式方程组代数变形

难度评级：2270

小提示：

将 $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ 平方，并比较 $\sqrt{6}$ 、 $\sqrt{10}$ 和 $\sqrt{15}$ 的系数

Square $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ and match the coefficients of $\sqrt{6},$ $\sqrt{10},$ and $\sqrt{15}$

大提示：

$(abc)^2 = (ab)(ac)(bc)$ ，因此不需要分别求出 $a$ 、 $b$ 、 $c$

$(abc)^2 = (ab)(ac)(bc),$ so you never need $a,$ $b,$ $c$ individually

解答：

将 $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ 平方得到 $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15} \end{aligned}\text{。}$ 比较系数可得 $2ab = 104$ 、 $2ac = 468$ 、 $2bc = 144$ ，即 $ab = 52$ 、 $ac = 234$ 、 $bc = 72$ ，同时 $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006$ 。

于是 $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $abc = 936$ 。作为检验， $a = \frac{abc}{bc} = 13$ 、 $b = \frac{abc}{ac} = 4$ 、 $c = \frac{abc}{ab} = 18$ ，并且 $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006 \end{aligned}\text{，}$ 符合要求。

因此 $a \cdot b \cdot c = 936$ 。

Squaring $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ gives $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15}. \end{aligned}$ Matching coefficients yields $2ab = 104,$ $2ac = 468,$ $2bc = 144,$ that is $ab = 52,$ $ac = 234,$ $bc = 72,$ along with $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006.$

Then $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2, \end{aligned}$ so $abc = 936.$ As a check, $a = \frac{abc}{bc} = 13,$ $b = \frac{abc}{ac} = 4,$ $c = \frac{abc}{ab} = 18,$ and $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006, \end{aligned}$ as required.

Therefore $a \cdot b \cdot c = 936.$

2006 AIME I 第 5 题

答案：936

难度评级：2270

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解答：

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