2006 AIME I 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

在四边形 $ABCD$ 中， $\angle B$ 是直角，对角线 $\overline{AC}$ 垂直于 $\overline{CD}$ ，且 $AB = 18$ 、 $BC = 21$ 、 $CD = 14$ 。求四边形 $ABCD$ 的周长。

In quadrilateral $ABCD,$ $\angle B$ is a right angle, diagonal $\overline{AC}$ is perpendicular to $\overline{CD},$ $AB = 18,$ $BC = 21,$ and $CD = 14.$ Find the perimeter of $ABCD.$

答案

知识点：勾股定理周长

难度评级：1790

小提示：

对角线 $\overline{AC}$ 把四边形分成两个共用 $AC$ 的直角三角形

Diagonal $\overline{AC}$ splits the quadrilateral into two right triangles that share $AC$

大提示：

两次使用勾股定理： $DA^2 = (AB^2 + BC^2) + CD^2$

Apply the Pythagorean theorem twice: $DA^2 = (AB^2 + BC^2) + CD^2$

解答：

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处为直角，所以 $AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765$ 。三角形 $ACD$ 在 $C$ 处为直角，所以 $DA^2 = AC^2 + CD^2$ $= 765 + 196 = 961$ ，得 $DA = 31$ 。

周长为 $18 + 21 + 14 + 31 = 84$ 。

Triangle $ABC$ is right-angled at $B,$ so $AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765.$ Triangle $ACD$ is right-angled at $C,$ so $DA^2 = AC^2 + CD^2$ $= 765 + 196 = 961,$ giving $DA = 31.$

The perimeter is $18 + 21 + 14 + 31 = 84.$

2.

设集合 $\mathcal{A}$ 含 $90$ 个元素，且是 $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ 的子集；设 $S$ 为 $\mathcal{A}$ 中元素的和。求 $S$ 可能取值的个数。

Let set $\mathcal{A}$ be a $90$ -element subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 100\},$ and let $S$ be the sum of the elements of $\mathcal{A}.$ Find the number of possible values of $S.$

答案

知识点：子集极端原理区间内整数计数

难度评级：1890

小提示：

先求最小和最大可能和，再说明两者之间的每个值都能出现

Find the smallest and largest possible sums, then show every value between them occurs

大提示：

如果和还不是最大，则有某个 $k$ 属于 $\mathcal{A}$ ，并满足 $k + 1 \notin \mathcal{A}$ ；将 $k$ 换成 $k + 1$ 会使和恰好增加 $1$

If the sum is not maximal, some element $k$ of $\mathcal{A}$ has $k + 1 \notin \mathcal{A};$ replacing $k$ by $k + 1$ raises the sum by exactly $1$

解答：

最小可能和为 $1 + 2 + \cdots + 90 = 4095$ ，最大可能和为 $11 + 12 + \cdots + 100 = 4995$ 。

中间的每个整数也都能出现。假设 $\mathcal{A}$ 的和为 $S \le 4994$ ，令 $k$ 为 $\mathcal{A}$ 中满足 $k + 1 \notin \mathcal{A}$ 的最小元素。若 $k$ 是 $100$ ，则 $\mathcal{A}$ 必定是以 $100$ 结尾的一段连续整数，即 $\{11, \ldots, 100\}$ ，其和超过 $4994$ 。因此 $k \ne 100$ ，将 $k$ 换成 $k + 1$ 会得到一个含 $90$ 个元素、和为 $S + 1$ 的子集。

所以 $S$ 取遍从 $4095$ 到 $4995$ 的所有值，共有 $4995 - 4095 + 1 = 901$ 个可能值。

The smallest possible sum is $1 + 2 + \cdots + 90 = 4095,$ and the largest is $11 + 12 + \cdots + 100 = 4995.$

Every integer in between also occurs. Suppose $\mathcal{A}$ has sum $S \le 4994,$ and let $k$ be the smallest element of $\mathcal{A}$ with $k + 1 \notin \mathcal{A}.$ If $k$ were $100,$ then $\mathcal{A}$ would be a block of consecutive integers ending at $100,$ namely $\{11, \ldots, 100\},$ whose sum exceeds $4994.$ So $k \ne 100,$ and replacing $k$ by $k + 1$ produces a $90$ -element subset with sum $S + 1.$

Hence $S$ takes every value from $4095$ to $4995,$ for $4995 - 4095 + 1 = 901$ possible values.

3.

求最小的正整数，使得删去它最左边的数字后，所得整数是原整数的 $\frac{1}{29}$ 。

Find the least positive integer such that when its leftmost digit is deleted, the resulting integer is $\frac{1}{29}$ of the original integer.

答案

知识点：数字位值整除性

难度评级：2020

小提示：

若最左边数字 $d$ 在 $10^p$ 位，删去后剩下 $n$ ，则 $d \cdot 10^p + n = 29n$

If the leftmost digit $d$ sits in the $10^p$ place and $n$ remains after deleting it, then $d \cdot 10^p + n = 29n$

大提示：

$d \cdot 10^p = 28n$ 强制 $d$ 能被 $7$ 整除，所以 $d = 7$ 且 $10^p = 4n$

$d \cdot 10^p = 28n$ forces $d$ to be divisible by $7,$ so $d = 7$ and $10^p = 4n$

解答：

设 $d$ 为最左边的数字， $n$ 为删去它后剩下的整数，则原整数为 $d \cdot 10^p + n$ ，其中 $p$ 为某个正整数。条件给出 $d \cdot 10^p + n = 29n$ ，所以 $d \cdot 10^p = 28n$ 。

因为 $28n$ 能被 $7$ 整除但 $10^p$ 不能，数字 $d$ 必须是 $7$ 的倍数，所以 $d = 7$ 。于是 $10^p = 4n$ ，得 $n = 25 \cdot 10^{p-2}$ ，这要求 $p \ge 2$ 。最小情形为 $p = 2$ ， $n = 25$ 。

最小的这样的整数是 $725$ ，且确实有 $725 = 29 \cdot 25$ 。

Let $d$ be the leftmost digit and $n$ the integer that remains after deleting it, so the original integer is $d \cdot 10^p + n$ for some positive integer $p.$ The condition says $d \cdot 10^p + n = 29n,$ so $d \cdot 10^p = 28n.$

Since $28n$ is divisible by $7$ but $10^p$ is not, the digit $d$ must be a multiple of $7,$ so $d = 7.$ Then $10^p = 4n,$ giving $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ which requires $p \ge 2.$ The smallest case is $p = 2,$ $n = 25.$

The least such integer is $725,$ and indeed $725 = 29 \cdot 25.$

4.

令 $N$ 为乘积 $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!$ 的十进制写法末尾连续 $0$ 的个数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

Let $N$ be the number of consecutive $0$ ’s at the right end of the decimal representation of the product $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

答案

知识点：末尾零阶乘求和

难度评级：2400

小提示：

计算因子 $5$ 的个数：整数 $j$ 恰好作为因子出现在 $101 - j$ 个阶乘中

Count factors of $5:$ the integer $j$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials

大提示：

先求 $101 - j$ 在所有 $5$ 的倍数处的和；再对 $25$ 的倍数额外加同样的和，计入它们的第二个因子 $5$

Sum $101 - j$ over all multiples of $5,$ then add the same sum over multiples of $25$ for their second factor of $5$

解答：

因子 $2$ 非常充足，所以 $N$ 是该乘积中因子 $5$ 的指数。每个整数 $j$ ，只要满足 $1 \le j \le 100$ ，就恰好作为因子出现在 $101 - j$ 个阶乘中，即 $j!, (j+1)!, \ldots, 100!$ 。

每个 $5$ 的倍数每出现一次就贡献一个因子 $5$ ，每个 $25$ 的倍数还要再贡献一个。对 $j = 5, 10, \ldots, 100$ ，出现次数总和为 $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970$ ，对 $j = 25, 50, 75, 100$ ，出现次数总和为 $76 + 51 + 26 + 1 = 154$ 。

因此 $N = 970 + 154 = 1124$ ，除以 $1000$ 的余数为 $124$ 。

Factors of $2$ are plentiful, so $N$ is the exponent of $5$ in the product. Each integer $j$ with $1 \le j \le 100$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials, namely $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Every multiple of $5$ contributes one factor of $5$ per appearance, and every multiple of $25$ contributes one more. Over $j = 5, 10, \ldots, 100$ the appearances total $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ and over $j = 25, 50, 75, 100$ they total $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Hence $N = 970 + 154 = 1124,$ and the remainder upon division by $1000$ is $124.$

5.

数 $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ 可以写成 $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数。求 $a \cdot b \cdot c$ 。

The number $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ can be written as $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $a \cdot b \cdot c.$

答案

知识点：根式方程组代数变形

难度评级：2270

小提示：

将 $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ 平方，并比较 $\sqrt{6}$ 、 $\sqrt{10}$ 和 $\sqrt{15}$ 的系数

Square $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ and match the coefficients of $\sqrt{6},$ $\sqrt{10},$ and $\sqrt{15}$

大提示：

$(abc)^2 = (ab)(ac)(bc)$ ，因此不需要分别求出 $a$ 、 $b$ 、 $c$

$(abc)^2 = (ab)(ac)(bc),$ so you never need $a,$ $b,$ $c$ individually

解答：

将 $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ 平方得到 $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15} \end{aligned}\text{。}$ 比较系数可得 $2ab = 104$ 、 $2ac = 468$ 、 $2bc = 144$ ，即 $ab = 52$ 、 $ac = 234$ 、 $bc = 72$ ，同时 $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006$ 。

于是 $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $abc = 936$ 。作为检验， $a = \frac{abc}{bc} = 13$ 、 $b = \frac{abc}{ac} = 4$ 、 $c = \frac{abc}{ab} = 18$ ，并且 $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006 \end{aligned}\text{，}$ 符合要求。

因此 $a \cdot b \cdot c = 936$ 。

Squaring $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ gives $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15}. \end{aligned}$ Matching coefficients yields $2ab = 104,$ $2ac = 468,$ $2bc = 144,$ that is $ab = 52,$ $ac = 234,$ $bc = 72,$ along with $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006.$

Then $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2, \end{aligned}$ so $abc = 936.$ As a check, $a = \frac{abc}{bc} = 13,$ $b = \frac{abc}{ac} = 4,$ $c = \frac{abc}{ab} = 18,$ and $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006, \end{aligned}$ as required.

Therefore $a \cdot b \cdot c = 936.$

6.

设 $\mathcal{S}$ 为所有能表示成循环小数 $0.\overline{abc}$ 的实数组成的集合，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是互不相同的数字。求 $\mathcal{S}$ 中所有元素的和。

Let $\mathcal{S}$ be the set of real numbers that can be represented as repeating decimals of the form $0.\overline{abc}$ where $a,$ $b,$ $c$ are distinct digits. Find the sum of the elements of $\mathcal{S}.$

答案

知识点：循环小数数字对称性

难度评级：2300

小提示：

$0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999}$ ，且共有 $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ 个元素要相加

$0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ and there are $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ elements to add

大提示：

由对称性，数字 $0$ 到 $9$ 中每一个在三个位置上都恰好出现 $72$ 次

By symmetry each digit $0$ through $9$ appears exactly $72$ times in each of the three positions

解答：

每个元素等于 $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999}$ ，互异数字的有序三元组共有 $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ 个。由对称性，数字 $0$ 到 $9$ 中每一个在三个位置上都恰好出现 $\frac{720}{10} = 72$ 次。

因此分子总和为 $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640 \end{aligned}\text{，}$ 所以所有元素的和为 $\frac{359640}{999} = 360$ 。

Each element equals $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ and there are $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ ordered triples of distinct digits. By symmetry, each digit $0$ through $9$ appears in each of the three positions exactly $\frac{720}{10} = 72$ times.

The numerators therefore total $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}$ so the sum of the elements is $\frac{359640}{999} = 360.$

7.

如图，在一组等距平行线上画出一个角。阴影区域 $\mathcal{C}$ 的面积与阴影区域 $\mathcal{B}$ 的面积之比为 $\frac{11}{5}$ 。求阴影区域 $\mathcal{D}$ 的面积与阴影区域 $\mathcal{A}$ 的面积之比。

An angle is drawn on a set of equally spaced parallel lines as shown. The ratio of the area of shaded region $\mathcal{C}$ to the area of shaded region $\mathcal{B}$ is $\frac{11}{5}.$ Find the ratio of the area of shaded region $\mathcal{D}$ to the area of shaded region $\mathcal{A}.$

答案

知识点：相似面积比平方差

难度评级：2500

小提示：

令平行线间距为一，每个区域都是相似三角形面积之差，所以面积随到顶点距离的平方缩放

With unit spacing, every region is a difference of similar triangles, so areas scale as squares of distances from the vertex

大提示：

若 $x$ 是顶点到第一条线的距离，则 $\frac{\mathcal{C}}{\mathcal{B}} = \frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5}$ 可确定 $x$

If $x$ is the vertex’s distance to the first line, then $\frac{\mathcal{C}}{\mathcal{B}} = \frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5}$ determines $x$

解答：

取相邻平行线的间距为单位长度，令 $x$ 为角的顶点到第一条线的距离。第 $j$ 条线截出的三角形与 $\mathcal{A}$ 相似，相似比为 $\frac{x + j - 1}{x}$ ，所以其面积与 $(x + j - 1)^2$ 成正比，而第 $j$ 条线与第 $j + 1$ 条线之间的条带面积与 $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1$ 成正比。

区域 $\mathcal{B}$ 、 $\mathcal{C}$ 、 $\mathcal{D}$ 分别是从第 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 条线开始的条带，面积分别与 $2x + 3$ 、 $2x + 7$ 、 $2x + 11$ 成正比。已知比值得 $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5}$ ，所以 $10x + 35 = 22x + 33$ ，从而 $x = \frac{1}{6}$ 。

因为 $\mathcal{A}$ 的面积与 $x^2$ 成正比，所求比值为 $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{\frac{34}{3}}{\frac{1}{36}} = 408$ 。

Take the spacing between consecutive lines as the unit, and let $x$ be the distance from the vertex of the angle to the first line. The triangle cut off by the $j$ th line is similar to triangle $\mathcal{A}$ with ratio $\frac{x + j - 1}{x},$ so its area is proportional to $(x + j - 1)^2,$ and the strip between lines $j$ and $j + 1$ has area proportional to $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1.$

Regions $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ and $\mathcal{D}$ are the strips beginning at lines $2,$ $4,$ and $6,$ with areas proportional to $2x + 3,$ $2x + 7,$ and $2x + 11.$ The given ratio yields $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5},$ so $10x + 35 = 22x + 33$ and $x = \frac{1}{6}.$

Since $\mathcal{A}$ has area proportional to $x^2,$ the requested ratio is $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{\frac{34}{3}}{\frac{1}{36}} = 408.$

8.

如图，六边形 $ABCDEF$ 被分成五个菱形 $\mathcal{P}$ 、 $\mathcal{Q}$ 、 $\mathcal{R}$ 、 $\mathcal{S}$ 和 $\mathcal{T}$ 。菱形 $\mathcal{P}$ 、 $\mathcal{Q}$ 、 $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{S}$ 全等，每个面积都是 $\sqrt{2006}$ 。令 $K$ 为菱形 $\mathcal{T}$ 的面积。已知 $K$ 是正整数，求 $K$ 可能取值的个数。

Hexagon $ABCDEF$ is divided into five rhombuses, $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ $\mathcal{S},$ and $\mathcal{T},$ as shown. Rhombuses $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ and $\mathcal{S}$ are congruent, and each has area $\sqrt{2006}.$ Let $K$ be the area of rhombus $\mathcal{T}.$ Given that $K$ is a positive integer, find the number of possible values for $K.$

答案

知识点：菱形三角恒等式区间内整数计数

难度评级：2560

小提示：

五个菱形有相同的边长，并且沿 $\overline{AB}$ 相接的三个角之和为 $180^\circ$

All five rhombuses share the same side length, and the three angles meeting along $\overline{AB}$ add to $180^\circ$

大提示：

若每个全等菱形的面积为 $z^2 \sin\alpha$ ，则 $K = 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha$ ；判断它能等于哪些正整数

If each congruent rhombus has area $z^2 \sin\alpha,$ then $K = 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha;$ find which positive integers this can equal

解答：

因为 $\mathcal{T}$ 与其余每个菱形都共用一条边，五个菱形都有相同边长 $z$ 。设 $Y$ 为 $\mathcal{T}$ 在 $\overline{AB}$ 上的顶点，并令 $\alpha$ 为 $\mathcal{P}$ 在 $Y$ 处的角。则每个全等菱形的面积为 $z^2 \sin\alpha = \sqrt{2006}$ 。 $\mathcal{P}$ 、 $\mathcal{T}$ 和 $\mathcal{Q}$ 在 $Y$ 处的角排在直线 $AB$ 上，且由对称性 $\mathcal{Q}$ 在该处的角也等于 $\alpha$ ，所以 $\mathcal{T}$ 的角为 $180^\circ - 2\alpha$ 。因此 $\begin{aligned} K &= z^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= z^2 \sin 2\alpha \\ &= 2 z^2 \sin\alpha \cos\alpha \\ &= 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha \end{aligned}\text{。}$

当 $\alpha$ 在 $(0^\circ, 90^\circ)$ 中变化时， $\cos\alpha$ 取遍 $(0, 1)$ 中的所有值，所以 $K$ 取遍 $\left(0, \sqrt{8024}\right)$ 中的所有值。因为 $89^2 = 7921$ $\lt 8024$ $\lt 8100 = 90^2$ ，可能的正整数值为 $1, 2, \ldots, 89$ ，共有 $89$ 个。

Since $\mathcal{T}$ shares a side with each of the other rhombuses, all five have the same side length $z.$ Let $Y$ be the vertex of $\mathcal{T}$ on $\overline{AB},$ and let $\alpha$ be the angle of $\mathcal{P}$ at $Y.$ Then each congruent rhombus has area $z^2 \sin\alpha = \sqrt{2006}.$ The angles of $\mathcal{P},$ $\mathcal{T},$ and $\mathcal{Q}$ at $Y$ lie along the line $AB,$ and by symmetry $\mathcal{Q}$ ’s angle there also equals $\alpha,$ so $\mathcal{T}$ ’s angle is $180^\circ - 2\alpha.$ Hence $\begin{aligned} K &= z^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= z^2 \sin 2\alpha \\ &= 2 z^2 \sin\alpha \cos\alpha \\ &= 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha. \end{aligned}$

As $\alpha$ ranges over $(0^\circ, 90^\circ),$ the value $\cos\alpha$ takes every value in $(0, 1),$ so $K$ takes every value in $\left(0, \sqrt{8024}\right).$ Since $89^2 = 7921$ $\lt 8024$ $\lt 8100 = 90^2,$ the possible positive integer values are $1, 2, \ldots, 89:$ there are $89$ of them.

9.

数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\ldots$ 是等比数列， $a_1 = a$ ，公比为 $r$ ，其中 $a$ 和 $r$ 都是正整数。已知 $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006$ ，求有序数对 $(a, r)$ 的可能个数。

The sequence $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ is geometric with $a_1 = a$ and common ratio $r,$ where $a$ and $r$ are positive integers. Given that $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ find the number of possible ordered pairs $(a, r).$

答案

知识点：对数等比数列丢番图方程

难度评级：2450

小提示：

合并对数：前十二项的乘积为 $a^{12} r^{66}$ ，它必须等于 $8^{2006}$

Combine the logs: the product of the twelve terms is $a^{12} r^{66},$ which must equal $8^{2006}$

大提示：

写 $a = 2^x$ 、 $r = 2^y$ ，并数出 $2x + 11y = 1003$ 的非负整数解；奇偶性迫使 $y$ 为奇数

Write $a = 2^x,$ $r = 2^y$ and count nonnegative solutions of $2x + 11y = 1003;$ parity forces $y$ odd

解答：

对数之和为 $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right)$ ，所以 $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018}$ ，从而 $a^2 r^{11} = 2^{1003}$ 。

因此 $a$ 和 $r$ 都是 $2$ 的幂：写 $a = 2^x$ ， $r = 2^y$ ，其中整数 $x, y \ge 0$ 且 $2x + 11y = 1003$ 。因为 $2x$ 是偶数而 $1003$ 是奇数， $y$ 必须为奇数，设 $y = 2k - 1$ ，其中 $k \ge 1$ 。则 $x = 507 - 11k \ge 0$ 当且仅当 $k \le \lfloor \frac{507}{11} \rfloor = 46$ 。

每个 $k = 1, 2, \ldots, 46$ 给出一个数对，所以有 $46$ 个有序数对 $(a, r)$ 。

The sum of the logarithms is $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ so $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ which gives $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Thus $a$ and $r$ are powers of $2:$ write $a = 2^x$ and $r = 2^y$ with integers $x, y \ge 0$ and $2x + 11y = 1003.$ Since $2x$ is even and $1003$ is odd, $y$ must be odd, say $y = 2k - 1$ for $k \ge 1.$ Then $x = 507 - 11k \ge 0$ exactly when $k \le \lfloor \frac{507}{11} \rfloor = 46.$

Each $k = 1, 2, \ldots, 46$ gives one pair, so there are $46$ ordered pairs $(a, r).$

10.

如图，八个直径为 $1$ 的圆被摆放在坐标平面的第一象限中。设区域 $\mathcal{R}$ 为这八个圆形区域的并集。直线 $\ell$ 的斜率为 $3$ ，并将 $\mathcal{R}$ 分成面积相等的两部分。直线 $\ell$ 的方程可写成 $ax = by + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是最大公因数为 $1$ 的正整数。求 $a^2 + b^2 + c^2$ 。

Eight circles of diameter $1$ are packed in the first quadrant of the coordinate plane as shown. Let region $\mathcal{R}$ be the union of the eight circular regions. Line $\ell,$ with slope $3,$ divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Line $\ell$ ’s equation can be expressed in the form $ax = by + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers whose greatest common divisor is $1.$ Find $a^2 + b^2 + c^2.$

答案

知识点：坐标几何圆对称性

难度评级：2610

小提示：

任何经过两个全等圆相切点的直线，都会把这对圆的总面积平分

Any line through the point where two congruent circles touch splits that pair’s area evenly

大提示：

经过 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ 的直线斜率为 $3$ ，且两侧各留下两个完整的圆

The line through $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ and $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ has slope $3$ and leaves two whole circles on each side

解答：

这些圆的半径为 $\frac{1}{2}$ ，圆心分别为 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 、 $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 、 $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 、 $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 、 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 、 $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 、 $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ 。在 $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ 相切的那对圆关于 $A$ 对称，所以任何经过 $A$ 的直线都会平分这对圆的面积；同理，在 $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$ 相切的那对圆也是如此。直线 $AB$ 的斜率为 $\frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = 3$ 。

直线 $AB$ 完全不经过其余四个圆，并且这四个圆恰有两个在它的每一侧，所以它把 $\mathcal{R}$ 分成面积相等的两部分。平移一条斜率为 $3$ 的直线会严格地把面积从一侧移到另一侧，所以 $\ell$ 必定就是这条直线。

其方程为 $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1)$ ，即 $6x = 2y + 5$ 。由于 $\gcd(6, 2, 5) = 1$ ，答案为 $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65$ 。

The circles have radius $\frac{1}{2}$ and centers at $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ and $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ The pair of circles tangent at $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ is symmetric about $A,$ so any line through $A$ bisects that pair’s area; similarly for the pair tangent at $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ The line $AB$ has slope $\frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = 3.$

Line $AB$ misses the remaining four circles entirely, and exactly two of them lie on each side of it, so it divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Sliding a slope- $3$ line strictly shifts area from one side to the other, so $\ell$ must be this line.

Its equation is $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ that is, $6x = 2y + 5.$ With $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ the answer is $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

11.

一组 $8$ 个立方体中，对每个整数 $k$ ，都恰有一个棱长为 $k$ 的立方体，其中 $1 \le k \le 8$ 。要按照以下规则用全部 $8$ 个立方体搭成一座塔：

• 任何立方体都可以作为塔底的立方体。

• 紧放在棱长为 $k$ 的立方体上方的立方体，其棱长至多为 $k + 2$ 。

设 $T$ 为可以搭成的不同塔的数量。求 $T$ 除以 $1000$ 的余数。

A collection of $8$ cubes consists of one cube with edge-length $k$ for each integer $k,$ $1 \le k \le 8.$ A tower is to be built using all $8$ cubes according to the rules:

• Any cube may be the bottom cube in the tower.

• The cube immediately on top of a cube with edge-length $k$ must have edge-length at most $k + 2.$

Let $T$ be the number of different towers that can be constructed. What is the remainder when $T$ is divided by $1000?$

答案

知识点：递推计数双射

难度评级：2760

小提示：

通过把最大的立方体插入一个由较小立方体组成的合法塔，来构造由 $1, \ldots, n + 1$ 号立方体组成的塔

Build towers of the cubes $1, \ldots, n + 1$ by inserting the largest cube into a legal tower of the smaller ones

大提示：

当 $n \ge 2$ 时，立方体 $n + 1$ 可以放在塔底、放在立方体 $n$ 上、或放在立方体 $n - 1$ 上，数量每步乘以三

For $n \ge 2,$ cube $n + 1$ can go on the bottom, on cube $n,$ or on cube $n - 1$ — the count triples at each step

解答：

令 $S(n)$ 为使用棱长 $1, \ldots, n$ 的立方体搭成合法塔的数量。给定一个由 $n \ge 2$ 个立方体组成的合法塔，立方体 $n + 1$ 恰好可以插入三个位置：塔底、紧放在立方体 $n$ 上方、或紧放在立方体 $n - 1$ 上方（若放在其他位置，它会压在棱长至多为 $n - 2$ 的立方体上，违反规则）。每种插入后仍然合法，因为最后位于立方体 $n + 1$ 上方的立方体棱长至多为 $n \lt (n+1) + 2$ 。反过来，从一个由 $n + 1$ 个立方体组成的合法塔中删去立方体 $n + 1$ 后仍是合法塔：原来在它上方的立方体棱长至多为 $n$ 会落到一个棱长至少为 $n - 1$ 的立方体上。

因此 $S(n + 1) = 3 S(n)$ 对 $n \ge 2$ 成立。因为 $S(2) = 2$ （两个立方体任意一个都可以在上面），所以 $T = S(8) = 2 \cdot 3^6 = 1458$ ，余数为 $458$ 。

Let $S(n)$ be the number of legal towers using the cubes of edge-lengths $1, \ldots, n.$ Given a legal tower of $n \ge 2$ cubes, cube $n + 1$ can be inserted in exactly three places: at the bottom, immediately on top of cube $n,$ or immediately on top of cube $n - 1$ (anywhere else it would rest on a cube of edge-length at most $n - 2,$ violating the rule). Each insertion stays legal, because the cube that ends up on top of cube $n + 1$ has edge-length at most $n \lt (n+1) + 2.$ Conversely, deleting cube $n + 1$ from a legal tower of $n + 1$ cubes leaves a legal tower: the cube that was above it, of edge-length at most $n,$ lands on a cube of edge-length at least $n - 1.$

Hence $S(n + 1) = 3 S(n)$ for $n \ge 2.$ Since $S(2) = 2$ (either of the two cubes may be on top), we get $T = S(8) = 2 \cdot 3^6 = 1458,$ and the remainder is $458.$

12.

求 $x$ 的所有取值之和，其中 $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x$ ，且 $x$ 以度为单位并满足 $100 \lt x \lt 200$ 。

Find the sum of the values of $x$ such that $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ where $x$ is measured in degrees and $100 \lt x \lt 200.$

答案

知识点：三角恒等式立方和与立方差分类讨论

难度评级：2990

小提示：

积化和差： $2\cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x$ ，所以方程变为 $y^3 + z^3 = (y + z)^3$

Product-to-sum: $2\cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ so the equation reads $y^3 + z^3 = (y + z)^3$

大提示：

$(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y+z)$ ，所以 $\cos 3x$ 、 $\cos 5x$ 、 $\cos 4x \cos x$ 中至少一个必须为零

$(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y+z),$ so one of $\cos 3x,$ $\cos 5x,$ $\cos 4x \cos x$ must vanish

解答：

由积化和差恒等式， $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x$ ，所以右边为 $(\cos 5x + \cos 3x)^3$ 。令 $y = \cos 3x$ ， $z = \cos 5x$ ，方程变为 $y^3 + z^3 = (y + z)^3$ ，而 $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z)$ ，所以它成立当且仅当 $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0 \end{aligned}\text{，}$ 或 $\cos 4x \cos x = 0\text{。}$

对 $100 \lt x \lt 200$ （单位为度）： $\cos 3x = 0$ 给出 $x = 150$ ； $\cos 5x = 0$ 给出 $x = 126$ 、 $162$ 、 $198$ ； $\cos 4x = 0$ 给出 $x = 112.5$ 、 $157.5$ ；而 $\cos x = 0$ 在该区间内无解。

和为 $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906 \end{aligned}\text{。}$

By the product-to-sum identity, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ so the right side is $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Setting $y = \cos 3x$ and $z = \cos 5x,$ the equation becomes $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ and since $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ it holds exactly when $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ or $\cos 4x \cos x = 0.$

For $100 \lt x \lt 200$ in degrees: $\cos 3x = 0$ gives $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ gives $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ gives $x = 112.5,$ $157.5;$ and $\cos x = 0$ gives no solutions in the interval.

The sum is $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

13.

对每个正偶数 $x$ ，令 $g(x)$ 表示能整除 $x$ 的最大 $2$ 的幂。例如， $g(20) = 4$ ，且 $g(16) = 16$ 。对每个正整数 $n$ ，令 $S_n = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} g(2k)$ 。求小于 $1000$ 且使 $S_n$ 为完全平方数的最大整数 $n$ 。

For each even positive integer $x,$ let $g(x)$ denote the greatest power of $2$ that divides $x.$ For example, $g(20) = 4$ and $g(16) = 16.$ For each positive integer $n,$ let $S_n = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} g(2k).$ Find the greatest integer $n$ less than $1000$ such that $S_n$ is a perfect square.

答案

知识点：2的幂完全平方数求和

难度评级：2990

小提示：

$S_n$ 是函数 $g$ 在 $2, 4, \ldots, 2^n$ 上的值之和；这些数中恰有 $2^{n-1-i}$ 个满足 $g = 2^i$

$S_n$ sums $g$ over $2, 4, \ldots, 2^n;$ exactly $2^{n-1-i}$ of these numbers have $g = 2^i$

大提示：

$S_n = (n+1) 2^{n-1}$ ，所以 $n$ 必须为奇数，且 $n + 1$ 必须是完全平方数

$S_n = (n+1) 2^{n-1},$ so $n$ must be odd and $n + 1$ must be a perfect square

解答：

$S_n$ 是函数 $g$ 在偶数 $2, 4, \ldots, 2^n$ 上的值之和。在这 $2^{n-1}$ 个数中，恰有 $2^{n-1-i}$ 个数能被 $2^i$ 整除但不能被 $2^{i+1}$ 整除（所以 $g = 2^i$ ），这里 $1 \le i \le n - 1$ ；另有唯一的数 $2^n$ 满足 $g = 2^n$ 。因此 $\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n-1} 2^i \cdot 2^{n-1-i} \\ &\quad {}+ 2^n \\ &= (n-1) 2^{n-1} + 2^n \\ &= (n+1) 2^{n-1} \end{aligned}\text{。}$

若 $n$ 为偶数，则 $n + 1$ 为奇数，而指数 $n - 1$ 为奇数，因此 $S_n$ 中含有奇数个因子 $2$ ，不可能是完全平方数。若 $n$ 为奇数，则 $2^{n-1}$ 已经是完全平方数，所以 $S_n$ 是完全平方数当且仅当 $n + 1$ 是完全平方数。

对奇数 $n$ ，数 $n + 1$ 为偶数。不超过 $1000$ 的最大偶完全平方数是 $900 = 30^2$ 。因此，满足 $n \lt 1000$ 的最大有效整数是 $n = 899$ 。

$S_n$ is the sum of $g$ over the even numbers $2, 4, \ldots, 2^n.$ Among these $2^{n-1}$ numbers, exactly $2^{n-1-i}$ are divisible by $2^i$ but not $2^{i+1}$ (so have $g = 2^i$ ) for each $1 \le i \le n - 1,$ and the single number $2^n$ has $g = 2^n.$ Hence $\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n-1} 2^i \cdot 2^{n-1-i} \\ &\quad {}+ 2^n \\ &= (n-1) 2^{n-1} + 2^n \\ &= (n+1) 2^{n-1}. \end{aligned}$

If $n$ is even, then $n + 1$ is odd and the exponent $n - 1$ is odd, so $S_n$ has an odd number of factors of $2$ and cannot be a perfect square. If $n$ is odd, then $2^{n-1}$ is already a perfect square, so $S_n$ is a perfect square exactly when $n + 1$ is.

For odd $n,$ the number $n + 1$ is even, and the greatest even perfect square at most $1000$ is $900 = 30^2.$ Thus the greatest valid $n \lt 1000$ is $n = 899.$

14.

一个三脚架有三条腿，每条长 $5$ 英尺。三脚架架好时，任意两条腿之间的角都相等，并且三脚架顶部离地面 $4$ 英尺。架设三脚架时，一条腿的下端 $1$ 英尺折断脱落。设折断后的三脚架架好时，顶部离地面的高度为 $h$ 英尺。则 $h$ 可写成 $\frac{m}{\sqrt{n}}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不被任何质数的平方整除。求 $\lfloor m + \sqrt{n} \rfloor$ 。（记号 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

A tripod has three legs each of length $5$ feet. When the tripod is set up, the angle between any pair of legs is equal to the angle between any other pair, and the top of the tripod is $4$ feet from the ground. In setting up the tripod, the lower $1$ foot of one leg breaks off. Let $h$ be the height in feet of the top of the tripod from the ground when the broken tripod is set up. Then $h$ can be written in the form $\frac{m}{\sqrt{n}},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $\lfloor m + \sqrt{n} \rfloor.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

答案

知识点：立体几何坐标几何距离公式对称性

难度评级：3270

小提示：

建立坐标：顶部在 $(0, 0, 4)$ ，三个脚端距原点 $3$ ；断腿的新端点在从顶部到原脚端的路程的 $\frac{4}{5}$ 处

Set coordinates: top at $(0, 0, 4)$ and feet $3$ from the origin; the broken leg now ends $\frac{4}{5}$ of the way from top to old foot

大提示：

由对称性， $h$ 是 $xz$ -平面中的二维距离：从 $(0, 4)$ 到经过断腿端点和另外两个脚端中点的直线的距离

By symmetry $h$ is a 2D distance in the $xz$ -plane: from $(0, 4)$ to the line through the broken tip and the midpoint of the other two feet

解答：

将顶部放在 $T = (0, 0, 4)$ 。每条腿长 $5$ ，所以每个脚端距原点 $3$ ： $A = (3, 0, 0)$ 、 $B = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ 、 $C = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ 。断腿长度变为 $4$ ，所以它的端点为 $A' = \frac{4}{5}(3, 0, 0)$ $+ \frac{1}{5}(0, 0, 4)$ $= \left(\frac{12}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$ 。现在三脚架站在平面 $A'BC$ 上，而 $h$ 等于从 $T$ 到该平面的距离。

平面 $A'BC$ 包含 $\overline{BC}$ ，它平行于 $y$ -轴并经过中点 $M = \left(-\frac{3}{2}, 0, 0\right)$ ，所以从 $T$ 到该平面的距离可在 $xz$ -平面中测量：也就是从 $(0, 4)$ 到经过 $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$ 和 $\left(\frac{12}{5}, \frac{4}{5}\right)$ 的直线的距离，该直线方程为 $8x - 39z + 12 = 0$ 。因此 $\begin{aligned} h &= \frac{|8 \cdot 0 - 39 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{8^2 + 39^2}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{1585}} \end{aligned}\text{。}$

此时 $m = 144$ ，且 $n = 1585 = 5 \cdot 317$ 不含平方因子。由于 $39^2 = 1521 \lt 1585 \lt 1600$ ，可得 $\lfloor 144 + \sqrt{1585} \rfloor$ $= 144 + 39 = 183$ 。

Place the top at $T = (0, 0, 4).$ Each leg has length $5,$ so each foot is $3$ from the origin: $A = (3, 0, 0),$ $B = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right),$ $C = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right).$ The broken leg has length $4,$ so its tip is $A' = \frac{4}{5}(3, 0, 0)$ $+ \frac{1}{5}(0, 0, 4)$ $= \left(\frac{12}{5}, 0, \frac{4}{5}\right),$ and the tripod now stands on the plane $A'BC,$ with $h$ equal to the distance from $T$ to that plane.

The plane $A'BC$ contains $\overline{BC},$ which is parallel to the $y$ -axis and passes through the midpoint $M = \left(-\frac{3}{2}, 0, 0\right),$ so its distance from $T$ can be measured in the $xz$ -plane: it is the distance from $(0, 4)$ to the line through $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$ and $\left(\frac{12}{5}, \frac{4}{5}\right),$ whose equation is $8x - 39z + 12 = 0.$ Therefore $\begin{aligned} h &= \frac{|8 \cdot 0 - 39 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{8^2 + 39^2}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{1585}}. \end{aligned}$

Here $m = 144$ and $n = 1585 = 5 \cdot 317$ is squarefree. Since $39^2 = 1521 \lt 1585 \lt 1600,$ we get $\lfloor 144 + \sqrt{1585} \rfloor$ $= 144 + 39 = 183.$

15.

已知一个数列满足 $x_0 = 0$ ，且等式 $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ 对所有整数 $k \ge 1$ 都成立。求 $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|$ 的最小可能值。

Given that a sequence satisfies $x_0 = 0$ and $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ for all integers $k \ge 1,$ find the minimum possible value of $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$

答案

知识点：递推裂项相消奇偶性最优化

难度评级：3370

小提示：

将递推式平方： $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ 。对 $k$ 求和时各项会裂项相消，得到关于 $x_1 + \cdots + x_{2006}$ 的公式。

Square the recurrence: $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2.$ Summing over $k$ telescopes into a formula for $x_1 + \cdots + x_{2006}.$

大提示：

每个 $x_k$ 都是 $3$ 的倍数，且奇偶性与 $k$ 相同，所以选择 $x_{2007}$ ，使它的平方尽量接近 $9 \cdot 2007$

Each $x_k$ is a multiple of $3$ with the parity of $k,$ so choose $x_{2007}$ with square as close as possible to $9 \cdot 2007$

解答：

将递推式平方得 $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9$ 。对 $k = 1$ 到 $2007$ 求和，各项裂项相消： $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007\text{，}$ 所以由 $x_0 = 0$ ， $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6} \end{aligned}\text{。}$

归纳可知每个 $x_k$ 都是 $3$ 的倍数，且奇偶性与 $k$ 相同，所以 $x_{2007}$ 是 $3$ 的奇数倍。要使 $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|$ 最小，应在 $3$ 的奇数倍中取平方最接近 $18063$ 的数，即 $\pm 135$ 。其中 $135^2 = 18225$ ，得到 $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ （相邻的 $129$ 和 $141$ 分别给出 $237$ 和 $303$ ）。

这个值可以达到：对 $k \le 45$ 取 $x_k = 3k$ ；此后令 $x_k = -138$ （当 $k$ 为偶数），并令 $x_k = 135$ （当 $k$ 为奇数）。于是 $x_{2007} = 135$ ，和为 $27$ 。所以最小值为 $27$ 。

Squaring the recurrence gives $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9.$ Summing for $k = 1$ to $2007$ telescopes: $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007,$ so with $x_0 = 0,$ $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6}. \end{aligned}$

Induction shows each $x_k$ is a multiple of $3$ whose parity matches that of $k,$ so $x_{2007}$ is an odd multiple of $3.$ To minimize $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|,$ take the odd multiple of $3$ whose square is nearest $18063:$ that is $\pm 135,$ with $135^2 = 18225,$ giving $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ (the neighbors $129$ and $141$ give $237$ and $303$ ).

This value is attained: take $x_k = 3k$ for $k \le 45,$ and thereafter alternate $x_k = -138$ for even $k$ and $x_k = 135$ for odd $k;$ then $x_{2007} = 135$ and the sum is $27.$ So the minimum is $27.$