Question

求整数有序对 $(a, b)$ 的个数，使得 $\log_a b + 6\log_b a = 5$ ， $2 \le a \le 2005$ ，且 $2 \le b \le 2005$ 。

Determine the number of ordered pairs $(a, b)$ of integers such that $\log_a b + 6\log_b a = 5,$ $2 \le a \le 2005,$ and $2 \le b \le 2005.$

答案

答案：54

知识点：对数二次方程区间内整数计数

难度评级：2310

小提示：

令 $x = \log_a b$ ；因为 $\log_b a = \frac{1}{x}$ ，方程变为 $x + \frac{6}{x} = 5$ 。

Set $x = \log_a b;$ since $\log_b a = \frac{1}{x},$ the equation becomes $x + \frac{6}{x} = 5$

大提示：

两种情形是 $b = a^2$ 和 $b = a^3$ ；分别数出有多少 $a \ge 2$ 能使 $b \le 2005$ 。

The two cases are $b = a^2$ and $b = a^3;$ count how many $a \ge 2$ keep $b \le 2005$ in each

解答：

令 $x = \log_a b$ 。因为 $\log_b a = \frac{1}{x}$ ，方程变为 $x + \frac{6}{x} = 5$ ，即 $x^2 - 5x + 6 = 0$ ，所以 $x = 2$ 或 $x = 3$ 。这意味着 $b = a^2$ 或 $b = a^3$ 。

对 $b = a^2 \le 2005$ ，需要 $2 \le a \le 44$ （因为 $44^2 = 1936$ 且 $45^2 = 2025$ ），得到 $43$ 个有序对。对 $b = a^3 \le 2005$ ，需要 $2 \le a \le 12$ （因为 $12^3 = 1728$ 且 $13^3 = 2197$ ），得到 $11$ 个有序对。

总共有 $43 + 11 = 54$ 个有序对。

Let $x = \log_a b.$ Since $\log_b a = \frac{1}{x},$ the equation becomes $x + \frac{6}{x} = 5,$ i.e. $x^2 - 5x + 6 = 0,$ so $x = 2$ or $x = 3.$ That means $b = a^2$ or $b = a^3.$

For $b = a^2 \le 2005$ we need $2 \le a \le 44$ (since $44^2 = 1936$ and $45^2 = 2025$ ), giving $43$ pairs. For $b = a^3 \le 2005$ we need $2 \le a \le 12$ (since $12^3 = 1728$ and $13^3 = 2197$ ), giving $11$ pairs.

In total there are $43 + 11 = 54$ ordered pairs.

2005 AIME II 第 5 题

答案：54

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

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